Question

Дан треугольник abc, с координатами вершин в точках: A(8;-2) B (4;-5) C (9;3) найти уравнение и длину высоты CD

Answer 1

Уравнение прямой, проходящей через точки $(x_1;\ y_1)$ и $(x_2;\ y_2)$:

$\dfrac{x-x_2}{x_1-x_2}= \dfrac{y-y_2}{y_1-y_2}$

Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_1;\ y_1)$ с угловым коэффициентом $k$:

$y-y_1=k(x-x_1)$

Если прямые $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2x+b_2$ перпендикулярны, то выполняется соотношение:

$k_1=-\dfrac{1}{k_2}$

Составим уравнение прямой AB, используя уравнение прямой, проходящей через 2 точки:

$\dfrac{x-8}{4-8} =\dfrac{y-(-2)}{-5-(-2)}$

$\dfrac{x-8}{-4} =\dfrac{y+2}{-5+2}$

$\dfrac{x-8}{-4} =\dfrac{y+2}{-3}$

$y+2=\dfrac{3}{4} (x-8)$

$y+2=\dfrac{3}{4} x-6$

$y=\dfrac{3}{4} x-8$

Так как CD - высота, то прямые CD и AB перпендикулярны. Следовательно, угловой коэффициент прямой CD равен -4/3.

Составим уравнение прямой CD, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом:

$y-3=-\dfrac{4}{3} (x-9)$

$y-3=-\dfrac{4}{3} x+12$

$\boxed{y=-\dfrac{4}{3} x+15}$

Определим координаты точки D. Эта точка является точкой пересечения прямых AB и CD. Поэтому решим систему:

$\begin{cases} y=\dfrac{3}{4} x-8 \\ y=-\dfrac{4}{3} x+15 \end{cases}$

$\dfrac{3}{4} x-8 =-\dfrac{4}{3} x+15$

$\dfrac{3}{4} x+\dfrac{4}{3} x=8+15$

$\dfrac{9}{12} x+\dfrac{16}{12} x=23$

$\dfrac{25}{12} x=23$

$x=23\cdot\dfrac{12}{25}$

$x=\dfrac{276}{25}$

$y=\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{276}{25} -8=\dfrac{3 \cdot69}{25} -8=\dfrac{207}{25} -8=\dfrac{7}{25}$

Таким образом, точка D имеет координаты:

$D\left(\dfrac{276}{25};\ \dfrac{7}{25}\right)$

Найдем длину высоты CD:

$CD=\sqrt{\left(\dfrac{276}{25}-9\right)^2+\left(\dfrac{7}{25}-3\right)^2 } =\sqrt{\left(\dfrac{51}{25}\right)^2+\left(-\dfrac{68}{25}\right)^2 } =$

$=\sqrt{\dfrac{2601}{25^2}+\dfrac{4624}{25^2} } =\sqrt{\dfrac{7225}{25^2} } =\dfrac{85}{25}=\boxed{3.4}$

Ответ: y=-4x/3+15; CD=3.4