Question

Решите уравнение: 10x⁵-5x⁴+10x³+5x-1=0.

Answer 1

$P(x)=10x^5-5x^4+10x^3+5x-1$ неприводим в $\mathbb{Z}[x]$ по критерию Эйзенштейна на $Q(x)=x^5P( x^{-1}), \; p=5$

В $\mathbb{Z}_3[x]$ мы имеем $P(x)\equiv x^5+x^4+x^3+2x+2$. У него нет корней в $\mathbb{Z}_3$, поэтому нет линейного множителя. Пусть $P(x)\equiv(x^2+Ax+B)(x^3+Cx^2+Dx+E)$, решая систему, мы находим $P(x)\equiv(x^2 +х+2)(х^3+2х+1)$

Это нам говорит о том, что группа Галуа $P(x)$ имеет перестановку с $5$-циклом, а также перестановку, которая является композицией $2$-цикла и $3$-цикла Любая такая пара перестановок порождает $S_5$, которая, таким образом, является группой Галуа

Действительный корень: $x\approx 0.18757425386936658$

Комплексные корни:

$x\approx -0.3203568647302938\pm 0.6407075235456818i\\\\x\approx 0.4765697377956105\pm 0.9010178441028153i$