Question

Пользуясь определением предела функции по Коши, докажите, что lim(n→∞) (x*sin(1/x)) = 0​

Answer 1

Так обычно задачи и подразумевают определение Коши, а если нет, то пишут (по Гейне)

$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| x\sin \frac{1}{x} \right|\le \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| x \right|\left| \sin \frac{1}{x} \right|\le \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| x \right|=0$

Answer 2

$\displaystyle \lim_{x \to 0} x \sin\tfrac{1}{x} = 0 \iff \forall \varepsilon > 0\; \exists \delta(\varepsilon) > 0: \forall x: 0 < |x| < \delta \to \big| x \sin \tfrac{1}{x} \big| < \varepsilon.$

Остаётся найти окрестность $\delta = \delta(\varepsilon)$. Начнём с конца утверждения:

$\big| x\sin\tfrac{1}{x}\big| < \varepsilon,\\[2ex] \big|x \sin\tfrac{1}{x}\big| \leq |x| < \varepsilon.$

Отсюда видно, что если выбрать, например, $\delta(\varepsilon) = \varepsilon/2$, то нужное неравенство $\big| x \sin \tfrac{1}{x}\big| < \varepsilon$ будет заведомо верно для значений $x$ из (проколотой) дельта-окрестности $x=0$.

Таким образом,

$\forall \varepsilon > 0\; \exists \delta(\varepsilon) = \varepsilon /2: \forall x: 0 < |x| < \delta(\varepsilon) \to \big| x \sin \tfrac{1}{x} \big| < \varepsilon.$