Question

В треугольнике ABC проведена прямая MK параллельно стороне AC. M лежит на АВ, К лежит на ВС.
MB = 9, BK = 11, MK = 10. BM :
AM = 2: 1
• Докажите, что треугольники
АВС и ВМК подобны
• Найдите площадь ВМК
• Найдите площадь АВС

Answer 1

Площадь треугольника ВМК можно найти, используя формулу Герона:

p = (MK + KB + BM) / 2 = (10 + 11 + 9) / 2 = 15

S(VMK) = sqrt(p(p - MK)(p - KB)(p - BM)) = sqrt(1554*3) = 30

Площадь треугольника АВС можно найти, используя формулу:

S(ABC) = (AB * AC * sin(∠BAC)) / 2

AB = AM + MB = 2x + 9

AC = AK + KC = x + 11

∠BAC = ∠MKV + ∠MKB + ∠BKC = 180° - ∠VMK - ∠KMB - ∠KBC = 180° - ∠VMK - ∠MKC - ∠BKC

∠MKC = ∠ABC, так как они соответственные

∠VMK = ∠AVB, так как они вертикальные

∠BKC = ∠ACB, так как они соответственные

∠MKV = ∠AMB, так как они вписанные

∠KMB = ∠MBC, так как они соответственные

∠KBC = ∠MCV, так как они соответственные

Таким образом, получаем:

S(ABC) = ((2x + 9) * (x + 11) * sin(∠BAC)) / 2

Найдем sin(∠BAC):

sin(∠BAC) = sin(∠VMK + ∠MKC + ∠BKC) = sin(∠VMK) * sin(∠MKC) * sin(∠BKC) - cos(∠VMK) * cos(∠MKC)

Найдем cos(∠VMK) и cos(∠MKC):

cos(∠VMK) = MB / MK = 9 / 10

cos(∠MKC) = BK / KC = 11 / (x + 11)

Таким образом, получаем:

sin(∠BAC) = (9 / 10) * (11 / (x + 11)) * sin(∠ACB)

Подставляем sin(∠BAC) в формулу для площади:

S(ABC) = ((2x + 9) * (x + 11) * (9 / 10) * (11 / (x + 11)) * sin(∠ACB)) / 2

S(ABC) = (99x + 891) / 20 * sin(∠ACB)

Заменяем sin(∠ACB) на sin(∠BAC):

S(ABC) = (99x + 891) / 20 * ((9 / 10) * (11 / (x + 11)))

S(ABC) = (297x + 2673) / (4(x + 11))

Итак, мы получили, что площадь треугольника ВМК равна 30, а площадь треугольника АВС равна (297x + 2673) / (4(x + 11)).

Answer 2

Відповідь:

Дано:  △ АВС, МК ∥ АС; МВ-9;ВК-11; МК-10;ВМ:АМ=2:1

Доказать , что треугольники

АВС и ВМК подобны

• Найдти площадь △ВМК

• Найдите площадь △АВС

Решение:

ВМ:АМ=2:1

АМ= 9/2=4,5

1)Рассмотрим △АВС  и △ВМК

МК-общая сторона

∠.В-общий,так как МК∥АС,значит∠ВАС=∠ВМК

∠АСВ=∠МКВ  так как являются соответственными углами  при параллельных прямых и секущей,значит

△АВС и△ВМК подобны по  трем углам и стороне

2)Рассмотрим △ВМК

МВ=9, ВК=11, МК=10,

По формуле Герона S△ВМК = √p(p-МВ)(p-ВК)(p-МК)

р=1/2(9+11+10)=15

S△ВМК=√15*(15-9)*(15-11)*(15-10)=√15*6*4*5=√1800=42,4

Ответ: площадь △ВМК -42,4

3) Рассмотрим △АВС и △ВМК

они подобны,значит ВМ/АВ=S△ВМК/S△АВС,значит S△АВС=S△ВМК*АВ/ВМ=42,4*(9 +4,5)/9=572,4/9=63,6

Ответ : S△АВС-63,6          

Пояснення: