Question

Сума нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює 0,6, а сума чотирьох її перших членів дорівнює
$\frac{13}{27}$
Знайти перший член і знаменник прогресії;​

Answer 1

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел $b_1,b_2,\ldots$, в которой каждое последующее число получается из предыдущего, умноженный на некоторую константу $q$, то есть

$b_1\neq 0,q\neq 0,b_n=b_{n-1}q, \; \forall n\in \mathbb{N}, \; n\geq 2$

Мы знаем, что сумма равна $0,6$, а значит $b_1=0,6(1-q)$ и $b_1+b_2+b_3+b_4=\dfrac{13}{27}$

Воспользуемся формулой общего n-го члена геометрической прогрессии

$b_1+b_1q+b_1q^2+b_1q^3=\dfrac{13}{27}\Leftrightarrow b_1(1+q+q^2+q^3)=\dfrac{13}{27}\\ \\ 0{,}6(1-q)(1+q+q^2(1+q))=\dfrac{13}{27}\Leftrightarrow (1-q)(1+q)(1+q^2)=\dfrac{65}{81}\\ \\ (1-q^2)(1+q^2)=\dfrac{65}{81}\Leftrightarrow 1-q^4=\dfrac{65}{81}\Leftrightarrow q^4=\dfrac{16}{81}\Leftrightarrow q^2=\dfrac{4}{9}\Rightarrow q=\frac{2}{3}$

Подставляем знаменатель в формулу для $b_1$ выше и находим его

$b_1=0,6(1-q)=\frac{3}{5}\left ( 1-\frac{2}{3} \right )=\frac{1}{5}$

Answer 2

Відповідь: b1=0,2; q=2/3

Пояснення:

розв'язання завдання додаю.