Question

Ребят, очень прошу, решите с подробным объяснением, не могу понять, как решить.
Буду очень благодарен и признателен!!!
Заранее ОГРОМНОЕ спасибо!!!!

Answer 1

1)

Критические точки функции --- точки, в которых производная функции обращается в нуль. Так,

$f(x) = 2\cos 2x - \cos x \implies f'(x) = -4\sin 2x + \sin x$, и критические точки находятся из уравнения

$f'(x) = 0,\\[2ex] 8\sin x\cos x - \sin x = 0,\\[2ex] (8\cos x - 1 )\sin x = 0,\\[2ex] x\in \big\{\pi n \, \big| \, n \in \mathbb{Z}\big\}\bigcup \big\{{\pm\arccos\tfrac{1}{8}}+ 2 \pi k \, \big| \, k\in\mathbb{Z}\big\}.$

На отрезке $\big[{-2\pi};\;\tfrac{\pi}{2}\big]$ из первого множества находятся 3 точки, из второго --- тоже 3, поскольку $\arccos\tfrac{1}{8} < \tfrac{\pi}{2}$.

Ответ. 6 точек.

2)

$y(t) = \tfrac{2t^3}{3}-\tfrac{33t^2}{2}+16t - 7 \implies y'(t) = 2t^2 - 33t + 16.$

Так,

$y(2^x) = 2\cdot (2^x)^2-33\cdot 2^x + 16 \leq 0$,

введём замену $u = 2^x, \, u > 0$. Тогда

$2u^2 - 33u + 16 \leq 0,\\[2ex] u^2 - \tfrac{33}{2} u + 8 \leq 0,\\[2ex] \big(u-\tfrac{33}{4}\big)^2 - \tfrac{961}{16} \leq 0,\\[2ex] \big(u-\tfrac{33}{4}\big)^2 \leq \tfrac{961}{16} \iff \tfrac{33 - 31}{4}\leq u \leq \tfrac{33+31}{4}\iff \tfrac{1}{2}\leq u \leq 16,\, u > 0.$

Возвращаемся к исходной переменной:

$2^{-1}\leq 2^{x}\leq 2^4 \iff -1\leq x \leq 4.$

Так, сумма целых решений равна $\Sigma = -1 + 0 + 1 + 2 +3 + 4 = 9.$

Ответ. 9