Question

Найдите наибольшее значение разности у - х в области х2 + y2 < = ( меньше или равно ) 2х + 2y-1

​

Answer 1

Заметим, что $x^2 + y^2 \leq 2x + 2y-1\Rightarrow (x-1)^2+(y-1)^2\leq 1$ - окружность с центром в точке $(1,1)$ и радиусом $1$.

Пусть $y-x=k$ - прямая в системе координат, легко найти, когда прямая является большей касательной к окружности, $k$ - наибольшая

$y=k+x\Rightarrow (x-1)^2+(x+k-1)^2=1\Leftrightarrow 2x^2+(2k-4)x+k^2-2k+1=0\\D_x=(2k-4)^2-4\cdot 2\left ( k^2-2k+1 \right )=-4k^2+8$

Чтобы уравнение имело только одно решение, так как нам нужна точка касания прямой к окружности, то дискриминант должен равняться нулю

$-4k^2+8=0\Leftrightarrow k^2=2\overset{k > 0}{\Rightarrow }k=\sqrt{2}$