Question

$A=1^{2023} +2^{2023} +3^{2023} +...+2023^{2023}$

Определите, какой цифрой оканчивается запись числа A

Answer 1

Обратите внимание, что данное число равно

$(1^{2023}+2^{2023}+...+10^{2023}) \cdot 202 +1^{2023}+2^{2023}+3^{2023}$

Сравним всё по модулю 10

$1^{2023} \equiv 1 \pmod{10}, \; 2^{2023} \equiv 8 \pmod{10}, \; 3^{2023} \equiv 7 \pmod{10}\\4^{2023} \equiv 4 \pmod{10}, \; 5^{2023} \equiv 5 \pmod{10}, \; 6^{2023} \equiv 6 \pmod{10}\\7^{2023} \equiv 3 \pmod{10}, \; 8^{2023} \equiv 2 \pmod{10}, \; 9^{2023} \equiv 9 \pmod{10}\\ 10^{2023} \equiv 0 \pmod{10}$

Тогда мы получаем$\begin{align*}1^{2023}+2^{2023}+3^{2023}+\ldots+2023^{2023} &\equiv (1^{2023}+2^{2023}+...+10^{2023}) \cdot 202 +1^{2023}+2^{2023}+3^{2023} \\&\equiv (1+8+7+4+5+6+3+2+9+0) \cdot 202 + 1+8+7 \\&\equiv 5 \cdot 2 + 6 \\&\equiv 6 \pmod{10}\end{align*}$

$1^{2023}+2^{2023}+3^{2023}+\ldots+2023^{2023} \equiv \\\equiv (1^{2023}+2^{2023}+...+10^{2023}) \cdot 202 +1^{2023}+2^{2023}+3^{2023} \equiv \\\equiv (1+8+7+4+5+6+3+2+9+0) \cdot 202 + 1+8+7 \equiv 5 \cdot 2 + 6 \equiv 6 \pmod{10}$