Question

Высота правильной треугольной призмы ABCA'B'C' с основаниями ABC и A'B'C' равна 1. Ребра оснований равна корень из 2. Найдите угол DEF, где D-середина ребра BC, E-центр грани ABB'C', a F- середина ребра A'C'.​

Answer 1

Відповідь:     90° .

Пояснення:

  Нехай точка М - середина ребра АВ , т. N - середина ребра A'B' ;

  т. F -  - середина ребра A'C' ; т. К - середина ребра В'C' ,  тому

  ЕМ = 1/2 АА' = 1/2 * 1 = 1/2 ;  EN = EM = 1/2 .

  FK = 1/2 A'B' = √2/2 , a  MD = 1/2 AC = √2/2 ( за власт. середньої

  лінії тр - ника ) ;  DK = AA' = 1 .             Із прямок. ΔEMD  

  ED = √( EM² + MD² ) = √[ (1/2 )² + (√2/2 )² ] = √( 3/4 ) = √3/2 .

  EF = ED = √3/2 , бо прямок. ΔEMD = ΔENF ( за двома катетами ) .

   Із прямок. ΔFKD  FD = √( KD² + FK² ) = √( 1² + (√2/2 )² ) = √6/2 .

   Із  ΔFED  за Т. косинусів  FD² = EF² + ED² - 2* EF * ED * cos∠FED ;

  (√6/2 )² = (√3/2 )² + (√3/2 )² - 2 *√3/2 *√3/2 * cos∠FED ;

  після очевидних спрощень маємо :  cos∠FED = 0 ; -----> ∠FED = 90°.