Question

решите неравенство логарифмическое ​

Answer 1

Так как логарифм и показательная функции монотонны, то я имею права на подобные равносильные переходы. Так же, я применил рационализацию

$\log_x\log_7\left ( 7^{2x}-20 \right )\geq 1\Leftrightarrow \log_x\log_7\left ( 7^{2x}-20 \right )\geq \log_xx$$\left ( x-1 \right )\left ( \log_7\left ( 7^{2x}-20 \right )-x \right )\geq 0\Leftrightarrow (x-1)\left ( 7^{2x}-20-7^x \right )\geq 0$$(x-1)\underbrace{\left ( 7^x+4 \right )}_{ > 0}\left ( 7^x-5 \right )\geq 0\Leftrightarrow (x-1)\left ( x-\log_75 \right )\geq 0$

$x\in (-\infty , \log_75)\cup \left ( 1,+\infty \right )$

Найдём ограничения и объединим с решением

$\begin{cases}x\neq 1\\ x > 0\\ \log_7\left ( 7^{2x}-20 \right ) > 0\\7^{2x}-20 > 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\neq 1\\ x > 0\\ \log_7\left ( 7^{2x}-20 \right ) > 0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x\neq 1\\ x > 0\\ x > \frac{1}{2}\log_721\end{cases}$

Ответ: $x\in \left ( \frac{1}{2}\log_721,\log_75 \right )\cup (1,+\infty )$