Question

Решите уравнение......

Answer 1

Достаточно заметить, что помимо ОДЗ тут $x=\sqrt{2}$ так же не является корнем уравнения, а значит мы можем всё поделить на числитель первых двух дробей

Идея состоит в том, что числитель первых дробей говорят нам, что можно вынести их и дальше оценивать то, что получится во втором множители. Но никакая замена не поможет. Даже если мы заменим числитель первый дробей, то что делать с $x^2$? Возводить новую переменную в квадрат и выражать? Нет... Так станет только хуже

По этому я и предлагаю поделить всё на $\sqrt[7]{x-\sqrt{2}}$

$\frac{1}{2}-\frac{1}{x^2}=\frac{x}{2}\sqrt[7]{\frac{x^2}{\left ( x+\sqrt{2} \right )\left ( x-\sqrt{2} \right )}}\Leftrightarrow x^2-2=x^3\sqrt[7]{\frac{x^2}{x^2-2}}$

Тут ничего не остаётся делать, как возводить в седьмую степень, но бояться этого не стоит, знаменатель равен левой части, а значит на него можно домножить

$\left ( x^2-2 \right )^8=x^{23}$

И получается, что уравнение имеет единственное решение $x=1$