Question

Как вычислить (10^-2 +10^-4 +10^-6 +…)+0,(26)

Answer 1

$S=\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^4}+\frac{1}{10^6}+\ldots=\frac{1}{10^2}\left ( 1+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^4}+\ldots \right )=\frac{1}{10^2}\left ( 1+S \right )$$S=\frac{S+1}{100}\Leftrightarrow \frac{99}{100}S=\frac{1}{100}\Rightarrow S=\frac{1}{99}$

$0,26262626\ldots=x\Leftrightarrow 26,26262\ldots=100x\Leftrightarrow 26,26262\ldots-x=100x-x$$26,26262\ldots-0,26262\ldots=99x\Leftrightarrow 26=99x\Rightarrow x=\frac{26}{99}$

Два слагаемых мы преобразовали в стандартный вид, осталось сложить

$\frac{1}{99}+\frac{26}{99}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$