Question

вычислите тригонометрическое выражение (см.рис) (ответ должен выйти 24 но не знаю как решить)​

Answer 1

Пусть $s_n=\sin n^{\circ}$ и $c_n=\cos n^{\circ}$, тогда

$s_{80}s_{65}s_{35}=s_{80}\cfrac{c_{30}-c_{100}}2=\cfrac{(s_{110}+s_{50})-(s_{180}-s_{20})}4$

А значит

$\cfrac{96s_{80}s_{65}s_{35}}{s_{110}+s_{50}+s_{20}}=\cfrac{96}4=24$

Answer 2

Ответ:

Применяем формулы произведение синусов и произведение синуса на косинус :

  $\boldsymbol{sin\alpha \cdot sin\beta =\dfrac{1}{2}\cdot \Big(cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )\Big)}\ \ ,\\\\\boldsymbol{sin\alpha \cdot cos\beta =\dfrac{1}{2}\cdot \Big(sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta )\Big)\ \ .}$                  

$\bf \dfrac{96\cdot sin80^\circ \cdot sin65^\circ \cdot sin35^\circ }{sin20^\circ +sin50^\circ +sin110^\circ }=\dfrac{96\cdot sin80^\circ \cdot (sin65^\circ \cdot sin35^\circ )}{sin20^\circ +sin50^\circ +sin110^\circ }=\\\\\\=\dfrac{96\cdot sin80^\circ \cdot \dfrac{1}{2}\, (cos30^\circ -cos100^\circ )}{sin20^\circ +sin50^\circ +sin110^\circ }=\dfrac{48\cdot (sin80^\circ \cdot cos30^\circ -sin80^\circ \cdot cos100^\circ )}{sin20^\circ +sin50^\circ +sin110^\circ }=$  

$\bf =\dfrac{48\cdot \Big(\dfrac{1}{2}(sin110^\circ +sin50^\circ )-\dfrac{1}{2}(sin180^\circ -sin20^\circ )\Big)}{sin20^\circ +sin50^\circ +sin110^\circ }=$            

$\bf =\dfrac{48\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \Big(sin110^\circ +sin50^\circ -\overbrace{\bf sin180^\circ }^{0}+sin20^\circ \Big)}{sin20^\circ +sin50^\circ +sin110^\circ }=\\\\\\=\dfrac{24\cdot \Big(sin110^\circ +sin50^\circ +sin20^\circ \Big)}{sin20^\circ +sin50^\circ +sin110^\circ }=24$