Question

Пусть α (альфа), β (бета), γ (гамма) углы некоторого треугольника.
найдите наибольшее возможное значение sin α + sin β + sin γ/ cos α / 2 * cos β /2 * cos γ/2

Answer 1

Решение .  

  $\bf \dfrac{sin\alpha +sin\beta +sin\gamma }{cos\dfrac{\alpha }{2}\cdot cos\dfrac{\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\gamma }{2}}\ =\ \ ?$      

Если  $\boldsymbol{\alpha \ ,\ \beta \ ,\ \gamma }$  - углы треугольника , то  $\boldsymbol{\alpha +\beta +\gamma =180^\circ \ \ \ \Rightarrow }$  

 $\boldsymbol{\gamma =180^\circ -(\alpha +\beta )}$  .

Преобразуем числитель заданной дроби .  

$\boldsymbol{sin\alpha +sin\beta +sin\gamma =sin\alpha +sin\beta +sin(180^\circ -(\alpha +\beta ))}=$  

Применим формулу суммы синусов для первых двух слагаемых и формулу приведения для третьего слагаемого .

$\boldsymbol{=2\cdot sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\alpha -\beta }{2}+sin(\alpha +\beta )}=$  

Теперь применим формулу синуса двойного угла .

$\boldsymbol{=2\cdot sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\alpha -\beta }{2}+2\cdot sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}}=$  

Вынесем общие множители за скобки .

$\boldsymbol{=2\cdot sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\cdot \Big(cos\dfrac{\alpha -\beta }{2}+cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}\Big)}=$  

Применим формулу суммы косинусов и воспользуемся чётностью косинуса .

$\boldsymbol{=2\cdot sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\cdot \Big(2\cdot cos\dfrac{\alpha -\beta +\alpha +\beta }{4}\cdot cos\dfrac{\alpha -\beta -\alpha -\beta }{4}\Big)}=\\\\\\\boldsymbol{=2\cdot sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\cdot \Big(2\cdot cos\dfrac{\alpha }{2}\cdot cos\dfrac{-\beta }{2}\Big)=4\cdot sin\dfrac{\alpha +\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\alpha }{2}\cdot cos\dfrac{\beta }{2}}=$  

Из формулы   $\boldsymbol{\gamma =180^\circ -(\alpha +\beta )}$   выразим сумму углов :  

$\boldsymbol{\alpha +\beta =180^\circ -\gamma }$  . Подставим это выражение в последнее равенство .

$\boldsymbol{=4\cdot sin\dfrac{180^\circ -\gamma }{2}\cdot cos\dfrac{\alpha }{2}\cdot cos\dfrac{\beta }{2}=4\cdot sin\Big(90^\circ -\dfrac{\gamma }{2}\Big)\cdot cos\dfrac{\alpha }{2}\cdot cos\dfrac{\beta }{2}}=$    

Опять воспользуемся формулой приведения .

$\boldsymbol{=4\cdot cos\dfrac{\gamma }{2}\cdot cos\dfrac{\alpha }{2}\cdot cos\dfrac{\beta }{2}=4\cdot cos\dfrac{\alpha }{2}\cdot cos\dfrac{\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\gamma }{2}}$  

Подставим полученное выражение в числитель заданной дроби .

$\boldsymbol{\dfrac{sin\alpha +sin\beta +sin\gamma }{cos\dfrac{\alpha }{2}\cdot cos\dfrac{\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\gamma }{2}}=\dfrac{4\cdot cos\dfrac{\alpha }{2}\cdot cos\dfrac{\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\gamma }{2}}{cos\dfrac{\alpha }{2}\cdot cos\dfrac{\beta }{2}\cdot cos\dfrac{\gamma }{2}}=4}$  

Наибольшее возможное значение равно  4 .