Question

Знайти область визначення і значень

Answer 1

Ответ:

Построить график функции    $\bf f(x)=4x-2x^2$   .

$\bf 4x-2x^2=2x(2-x)$  

Нули функции :  $\bf fx)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ 2x(2-x)=0\ \ ,\ \ x_1=0\ ,\ x_2=2$  

Вершина параболы :  $\bf x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{-4}=1\ \ ,\ \ y_0=f(1)=4\cdot 1-2\cdot 1^2=4-2=2$  

$\bf V(\ 1\ ;\ 2\ )$  - вершина параболы .

$\bf 1)\ \ f(-1)=4\cdot (-1)-2\cdot (-1)^2=-4-2=-6\ \ ,\ \ \underline{f(-1)=-6}\\\\ f(1)=4\cdot 1-2\cdot 1^2=4-2=2\ \ ,\ \ \ \underline{f(1)=2}\\\\f(\frac{1}{2})=4\cdot \frac{1}{2}-2\cdot \frac{1}{4}=2-0,5=1,5\ \ ,\ \ \ \underline{f(\frac{1}{2})=1,5}$  

$\bf 2)\ \ f(x)=2\ \ \Rightarrow \ \ \ 4x-2x^2=2\ \ ,\ \ 2x^2-4x+2=0\ \ ,\ \ 2(x^2-2x+1)=0\ ,\\\\2(x-1)^2=0\ \ \ \to \ \ \ x=1\ \ ,\ \ \underline{f(1)=2}\\\\\\ f(x)=3\ \ \Rightarrow \ \ \ 4x-2x^2=3\ \ ,\ \ 2x^2-4x+3=0\ \ ,\\\\D/4=(b/2)^2-ac=4-6=-2 < 0\ \ \to \ \ \underline{x\in \varnothing }$  

Не существует точек, в которых функция принимает значение, равное  3  , так как область изменения функции - это промежуток  (-∞ ; 2 ]  .

$\bf f(x)=-6\ \ \Rightarrow \ \ \ 4x-2x^2=-6\ \ ,\ \ 2x^2-4x-6=0\ \ ,\ \ x^2-2x-3=0\ ,\\\\(x+1)(x-3)=0\ \ \ \to \ \ \ x_1=-1\ \ ,\ \ x_2=3\ \ ,\ \ \underline{f(-1)=-6\ ,\ f(3)=-6}$

3)  Наибольшее значение функции :   $\bf y_{naibol.}=f(1)=2$   .