Question

4. A — случайно выбранное 5-элементное подмножество множества S =
{1, 2, 3, 4, . . . , 10}. d — положительная разность между наибольшим и
наименьшими числами из A. Найти математическое ожидание значения
d. Ответ в виде обыкновенной дроби.

Answer 1

Для $d:={\rm diam}(A)$ имеем $d\in \{4,5,6,7,8,9\}$ и для каждого $d$ считаем количество подмножеств. Если задано $d$, то у нас есть $10-d$ вариантов для $\min(A)$. Мы знаем $\min(A),\max(A)$, и у нас есть ${{d-1}\choose 3}$ опций для выбора промежуточных чисел. Следовательно, мы имеем $f(d)=(10-d){{d-1}\choose 3}$ подмножеств для заданного $d$. Тогда мы находим $E(d)=\sum_{d=4}^9 {{df(d)}\over {252}}=\frac{22}{3}$