Ответы
Мы знаем, что a^n - b^n делится на (a - b), если n - четное, и не делится, если n - нечетное (при условии, что a ≠ b).
В данной задаче, a = 10 и b = 2.
Если n - четное, то (10ⁿ - 2ⁿ) будет делиться на (10 - 2) = 8.
Если n - нечетное, то (10ⁿ - 2ⁿ) не будет делиться на 8.
Мы хотим найти такие значения n, при которых (10ⁿ - 2ⁿ) не делится на 2⁶⁴ = 2^(6 * 8).
Это означает, что (10ⁿ - 2ⁿ) не должно делиться на 2^6.
Так как 2^6 = 64, то нам нужно найти такие значения n, при которых (10ⁿ - 2ⁿ) не делится на 64.
Мы знаем, что 10ⁿ - 2ⁿ делится на (10 - 2) = 8, если n - четное.
Следовательно, нам нужно найти такие нечетные значения n, при которых (10ⁿ - 2ⁿ) не делится на 8.
Попробуем несколько начальных значений нечетных n:
При n = 1: 10¹ - 2¹ = 8 (делится на 8).
При n = 3: 10³ - 2³ = 1000 - 8 = 992 (не делится на 8).
При n = 5: 10⁵ - 2⁵ = 100000 - 32 = 99968 (не делится на 8).
При n = 7: 10⁷ - 2⁷ = 10000000 - 128 = 9988672 (не делится на 8).
И так далее.
Мы видим, что при n = 3, 5, 7 и далее (все нечетные значения n) разность (10ⁿ - 2ⁿ) не делится на 8.
Следовательно, чтобы (10ⁿ - 2ⁿ) не делилось на 2⁶⁴, мы должны взять сумму всех нечетных натуральных чисел n:
3 + 5 + 7 + ...
Это бесконечная геометрическая прогрессия, где первый член a = 3 и знаменатель q = 2 (разность между соседними членами).
Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна:
S = a / (1 - q) = 3 / (1 - 2) = -3.
Однако мы ищем сумму только положительных значений, поэтому мы можем взять абсолютное значение:
S = | -3 | = 3.
Итак, сумма всех натуральных нечетных чисел n, при которых (10ⁿ - 2ⁿ) не делится на 2⁶⁴, равна 3.