Question

Найти частные производные и полный дифференциал функции.

Answer 1

Ответ:

$z_x' =- 6xy \cdot \sin ( 3x^2 - \sqrt{y} )$

$z_y' = \cos(3x^2 - \sqrt{y} ) + \dfrac{\sqrt{y} }{2} \cdot \sin ( 3x^2 - \sqrt{y} )$

$dz = - 6xy \cdot \sin ( 3x^2 - \sqrt{y} ) dx +\Big ( \cos(3x^2 - \sqrt{y} ) + \dfrac{\sqrt{y} }{2} \cdot \sin ( 3x^2 - \sqrt{y} ) \Big ) dy$

Объяснение:

Находим частные производные

$z_x' = \Big(y\cdot \cos(3x^2 - \sqrt{y} ) \Big)'_x = y\cdot \big(-\sin ( 3x^2 - \sqrt{y} )\big)\cdot (3x^2 - \sqrt{y} )'_x = \\\\ =- 6xy \cdot \sin ( 3x^2 - \sqrt{y} )$

$z_y' = \Big(y\cdot \cos(3x^2 - \sqrt{y} ) \Big)'_y = y'\cdot \cos(3x^2 - \sqrt{y} ) + y\cdot (\cos(3x^2 - \sqrt{y}) )' _y = \\\\\ = \cos(3x^2 - \sqrt{y} )+ y \cdot \big(-\sin ( 3x^2 - \sqrt{y} )\big)\cdot (3x^2 - \sqrt{y} )'_y = \\\\ = \cos(3x^2 - \sqrt{y} ) + y \cdot \big(-\sin ( 3x^2 - \sqrt{y} )\big)\cdot \bigg ( -\dfrac{1}{2\sqrt{y} } \bigg)= \\\\ = \cos(3x^2 - \sqrt{y} ) + \dfrac{\sqrt{y} }{2} \cdot \sin ( 3x^2 - \sqrt{y} )$

Следовательно полный дифференциал равен

$dz = - 6xy \cdot \sin ( 3x^2 - \sqrt{y} ) dx +\Big (\cos(3x^2 - \sqrt{y} ) + \dfrac{\sqrt{y} }{2} \cdot \sin ( 3x^2 - \sqrt{y} ) \Big )dy$