Question

Сколько корней имеет уравнение cos 3 cos^3

+ sin 3 sin^3

= 0 на промежутке

[0; 2]?

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\cos3x\cos^3x+\sin3x\sin^3x=0$

Заметим, что:

$\cos3x\cos^3x=\cos3x\cos x\cdot\cos^2x=\dfrac{1}{2}\left(\cos4x+\cos2x\right)\cos^2x$

$\sin3x\sin^3x=\sin3x\sin x\cdot\sin^2x=\dfrac{1}{2}\left(\cos2x-\cos4x\right)\left(1-\cos^2x\right)$

Тогда:

$\dfrac{1}{2}\left(\cos4x+\cos2x\right)\cos^2x+\dfrac{1}{2}\left(\cos2x-\cos4x\right)\left(1-\cos^2x\right)=0\\\\\left(\cos4x+\cos2x\right)\cos^2x+\left(\cos2x-\cos4x\right)\left(1-\cos^2x\right)=0\\\\\cos4x\cos^2x+\cos2x\cos^2x+\cos2x-\cos2x\cos^2x-\cos4x+\cos4x\cos^2x=0\\\\2\cos4x\cos^2x-\cos4x+\cos2x=0\\\\\cos4x\left(2\cos^2x-1\right)+\cos2x=0\\\\\cos4x\cos2x+\cos2x=0\\\\\cos2x\left(\cos4x+1\right)=0$

Тогда становится очевидно, что корни исходного уравнения следующие:

$x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{n\pi}{2},\;k\in\mathbb{Z}$

Для ответа на задачу нужно нарисовать тригонометрическую окружность и отметить на ней всей корни. Это стандартная процедура, поэтому ее оставляю читателю. Отмечу лишь, что ответом на задачу является B) 4.

Задание выполено!