Question

Найти частное решение уравнения

Answer 1

Ответ:

Частное решение уравнения:

$\boldsymbol{\boxed{y= \dfrac{13e^{-x} }{5} -\dfrac{7e^{3x}}{16} + \dfrac{e^{4x}}{5}}}$

Пошаговое объяснение:

$y'' - 2y' - 3y = e^{4x}$

$\lambda^{2} - 2\lambda - 3 = 0$

$D = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 = 4^{2}$

$\lambda_{1} = \dfrac{2+4}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$

$\lambda_{2} = \dfrac{2-4}{2} = \dfrac{-2}{2} = -1$

$y_{0} = C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{3x}$ - решение дифференциального

уравнения $y'' - 2y' - 3y = 0$.

По теореме одно из частных решений исходного дифференциального уравнения представимо в виде:

$y_{1} = Ae^{4x},A \in \mathbb R$.

1) $y_{1}' = (Ae^{4x})' =4Ae^{4x}$

2) $y_{1}'' = (y_{1}')' = (4Ae^{4x})' =16Ae^{4x}$

$y_{1}'' - 2y_{1}' - 3y_{1}= e^{4x}$

$16Ae^{4x} - 8Ae^{4x} - 3Ae^{4x} = e^{4x}$

$5Ae^{4x} = e^{4x}|:5 e^{4x}$

$A =\dfrac{1}{5}; y_{1} = \dfrac{e^{4x}}{5}$

$y = y_{0} + y_{1} = C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{3x} + \dfrac{e^{4x}}{5}$

$y(\ln 2) = 1$

$1 = C_{1}e^{-\ln 2} + C_{2}e^{3\ln 2} + \dfrac{e^{4\ln 2}}{5}$

$1 = \dfrac{C_{1}}{2} + 8C_{2} + \dfrac{16}{5}$

$1 - \dfrac{16}{5} = \dfrac{C_{1}}{2} + 8C_{2}$

$-\dfrac{11}{5} = \dfrac{C_{1}}{2} + 8C_{2} \bigg | \cdot 2$

$-\dfrac{22}{5} =C_{1} + 16C_{2}$

$-4,4 = C_{1} + 16C_{2}$

$y' = \bigg( C_{1}e^{-x} + C_{2}e^{3x} + \dfrac{e^{4x}}{5} \bigg)' = -C_{1}e^{-x} + 3C_{2}e^{3x} + \dfrac{4e^{4x}}{5}$

$y'(\ln 2) = 1$

$1 = -C_{1}e^{-\ln 2} + 3C_{2}e^{3\ln 2} + \dfrac{4e^{4\ln 2}}{5}$

$1 = -\dfrac{C_{1}}{2} + 24C_{2} + \dfrac{64}{5}$

$1 - \dfrac{64}{5} = -\dfrac{C_{1}}{2} + 24C_{2}$

$- \dfrac{59}{5} = -\dfrac{C_{1}}{2} + 24C_{2} \bigg | \cdot 2$

$- \dfrac{118}{5} = -C_{1}+ 48C_{2}$

$- 23,6 = -C_{1}+ 48C_{2}$

Составим систему уравнений:

$\displaystyle \left \{ {{-4,4 = C_{1} + 16C_{2}} \atop {- 23,6 = -C_{1}+ 48C_{2}}} \right \left \{ {{C_{1} = -16C_{2} -4,4} \atop {C_{1} = 48C_{2} + 23,6}} \right \Longrightarrow -16C_{2} -4,4 = 48C_{2} + 23,6$

$-16C_{2} -4,4 = 48C_{2} +23,6$

$64C_{2} = -28|:64$

$C_{2} =-\dfrac{28}{64} = -\dfrac{7}{16}$

$C_{1} = 48C_{2} + 23,6 = 48 \cdot \bigg (-\dfrac{7}{16} \bigg) + 23,6 = -21 + 23,6 = 2,6 = \dfrac{26}{10} = \dfrac{13}{5}$

$\bigg(\dfrac{13}{5}; -\dfrac{7}{16}\bigg)$

$y= \dfrac{13e^{-x} }{5} -\dfrac{7e^{3x}}{16} + \dfrac{e^{4x}}{5}$