В n-мерном кубе покрашено более половины вершин. Ребро называется покрашенным, если покрашены обе ограничивающие его вершины. Докажите, что покрашено не менее n рёбер
Ответы
Ответ:
Предположим, что в n-мерном кубе покрашено более половины вершин. Нам нужно доказать, что покрашено не менее n рёбер.
В n-мерном кубе есть 2^n вершин, так как каждая вершина имеет n координат, и каждая координата может быть 0 или 1. Если более половины вершин покрашено, то как минимум 2^n / 2 = 2^(n-1) вершин покрашено.
Рассмотрим n-мерное ребро куба. Оно соединяет две вершины, и для каждой вершины существует n-1 другая вершина, соединенная с ней этим ребром. Поскольку более половины вершин покрашены, то среди этих вершин есть хотя бы 2^(n-1) покрашенных. Это означает, что как минимум 2^(n-1) вершин имеют общее ребро с рассматриваемым ребром.
Таким образом, каждое ребро имеет как минимум 2^(n-1) покрашенных вершин. Поскольку всего рёбер в n-мерном кубе 2n, то суммарное количество покрашенных вершин по всем рёбрам равно 2n * 2^(n-1) = 2^n * n.
Это значит, что каждое из n рёбер имеет как минимум по одной покрашенной вершине, следовательно, покрашено не менее n рёбер.
Таким образом, доказано, что в n-мерном кубе, где покрашено более половины вершин, покрашено не менее n рёбер.
Пошаговое объяснение:
Сделайте ответ лучше?