Question

Вища математика. Диференційне рівняння

Answer 1

Ответ:

 $3xy^2-x^3=C.$

Пошаговое объяснение:

Это уравнение можно решить многими способами; приведем некоторые из них.

1-й способ. Это уравнение в полных дифференциалах, причем ответ получается почти автоматически. Имеем

  $x^2\, dx-(y^2\, dx+x\, dy^2)=0;\ d\left(\dfrac{x^3}{3}\right)-d\left( xy^2\right)=0;\ d\left(\dfrac{x^3}{3}-xy^2\right)=0;$

                         $d\left(x^3-3xy^2\right)=0;\ x^3-3xy^2=C.$

2-й способ. Разделив уравнение на y, видим, что получается уравнение Бернулли, которое превращается в линейное заменой y²=p (тем самым делить на y на самом деле не надо):

                                               $xp'+p=x^2.$

Можно решать это уравнение стандартным способом, равносильным вариации произвольной постоянной: p=uv;

               $xu'v+xuv'+uv=x^2;\ xu'v+u(xv'+v)=x^2;$

подбираем v≠0, обращающую скобку в ноль:

                  $xv'+v=0;\ (xv)'=0;\ xv=1;\ v=\dfrac{1}{x}$

(а можно было взять xv=2; xv=3  и так далее). При таком v уравнение превращается в

              $u'=x^2;\ u=\dfrac{x^3}{3}+C;\ p=uv=\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{C}{x};\ y^2=\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{C}{x}.$

При желании можно ответ записать в виде $y=\pm\sqrt{\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{C}{x}}.$

3-й способ. Это уравнение с однородной правой частью (его ещё называют однородным уравнением (не путать с линейным однородным уравнением)). Замена y=xt; dy=t dx +x dt;

          $(x^2-x^2t^2)\, dx=2x^2t(t\, dx+x\,dt);\ x^2(1-3t^2)dx=2x^3 t\, dt;$

выделяем решения x=0 и $1-3t^2=0\Rightarrow t=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$,   после чего преобразуем уравнение к

$\dfrac{dx}{x}=\dfrac{2t\, dt}{1-3t^2};\ d\ln|x|=\dfrac{d(t^2)}{1-3t^2};\ -3\,d\ln|x|=\dfrac{d(1-3t^2)}{1-3t^2};\ d\ln\left|\dfrac{1}{x^3}\right|=d\ln\left|3t^2-1\right|;$

               $\ln|3t^2-1|=\ln|x^{-3}|+C;\ 3t^2-1=\dfrac{\pm e^{C}}{x^3};\ \pm e^C=C_1\not=0;$

                                  $\dfrac{3y^2}{x^2}-1=\dfrac{C_1}{x^3};\ 3y^2=x^2+\dfrac{C_1}{x}.$

Решение $t=\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ (то есть $y=\pm\dfrac{x}{\sqrt{3}}$ ) вписывается в общее при $C_1=0.$ Решение x=0 вписывается в общее, если его переписать в виде

                                            $3xy^2-x^3=C.$

Замечание. Во втором способе потеряно решение x=0 (это когда от дифференциалов мы переходили к производной).