Question

20B016. В трикутнику Авс на стороні в взято точку м таку,
ЩО AM : MB = 2:3, а на
стороні с - точку и таку, що AN: NC = 3:4. Знайти
площу трикутника ABC,
якщо площа трикутника AMN дорівнює 12.

Answer 1

Пусть х и у - коэффициенты пропорциональности. Тогда

AM = 2x

MB = 3x

AN = 3y

NC = 4y

Тогда AB = 2x + 3x = 5x и AC = 3y + 4y = 7y и пусть $\angle BAC=\alpha$

Находим отношение площади треугольника AMN к площади треугольника ABС

$\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{\frac{1}{2}\cdot AN\cdot AM\cdot \sin \alpha}{\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AB\cdot \sin\alpha}=\dfrac{AN\cdot AM}{AC\cdot AB}=\dfrac{3y\cdot 2x}{7y\cdot 5x}=\dfrac{6}{35}$

$\dfrac{12}{S_{ABC}}=\dfrac{6}{35}$

$S_{ABC}=\dfrac{35}{6}\cdot 12=70$ кв. ед.

Ответ: 70 кв.ед.