Question

Решить дифференциальнoe уравнениe.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3y^2}{x^4}\right)dx-\dfrac{2y}{x^3}dy=0$

Пусть $N=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3y^2}{x^4}$ и $M=-\dfrac{2y}{x^3}$.

$\dfrac{\partial N}{\partial y}=\dfrac{6y}{x^4}=\dfrac{\partial M}{\partial x}$

Тогда имеем дело с уравнением в полных дифференциалах.

$\dfrac{\partial F}{\partial y}=-\dfrac{2y}{x^3},\;\Rightarrow\;F=\int -\dfrac{2y\,\mathrm{d}y}{x^3}=-\dfrac{y^2}{x^3}+f(x)$

$\dfrac{\partial F}{\partial x}=\dfrac{3y^2}{x^4}+f'(x)=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3y^2}{x^4},\;\Rightarrow\;f'(x)=\dfrac{1}{x^2},\;\Rightarrow\;f(x)=\int\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2}=-\dfrac{1}{x}$

Подставляем $f(x)$ в $F:$

$-\dfrac{y^2}{x^3}-\dfrac{1}{x}=C,\;\Rightarrow\;\dfrac{y^2}{x^3}+\dfrac{1}{x}=\widetilde{C}$

Уравнение решено!

Answer 2

Ответ:

 $y=\pm x\sqrt{Cx-1}.$

Объяснение:

                          $\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{3y^2}{x^4}\right)\, dx-\dfrac{2y}{x^3}\right)\, dy=0$              

               $-d\left(x^{-1}\right)-\left(y^2d\left(x^{-3}\right)+x^{-3}\,d\left(y^2\right)\right)=0;$

                                $d\left(x^{-1}\right)+d\left(y^2x^{-3}\right)=0;$

                                   $d\left(x^{-1}+y^2x^{-3}\right)=0;$

                                      $x^{-1}+y^2x^{-3}=C;$

               $x^2+y^2=Cx^3;\ y^2=Cx^3-x^2;\ y=\pm\sqrt{Cx^3-x^2}.$