Question

Найти решение задачи Коши

Answer 1

$y'' + 8 \sin y \cos^3 y = 0,\quad y(0) = 0,\quad y'(0)=2.$

Обозначим $y' = p(y)$. Тогда $y'' = \dot{p} y' = \dot{p} p$, где точкой обозначена производная по $y$.

$p\dot{p} + 8\sin y \cos^3 y = 0,\\[2ex] p\,\mathrm{d}p = - 8\sin y\cos^3 y\,\mathrm{d}y,\\[2ex] p^2 = 4\cos^4 y + C_1.$

В наших переменных

$p(y(x)) = y'(x) \implies p(y(0)) = y'(0)\iff p(0) = 2.$

Тогда,

$4 = 4 + C_1 \iff C_1 = 0.$

Имеем $(y')^2 = 4 \cos^4 y$. Поскольку $y'(0) = {+2} > 0$, то данное уравнение равносильно уравнению

$y' = 2\cos^2 y,\\[2ex] \dfrac{\mathrm{d}y}{\cos^2 y} = 2\,\mathrm{d}x,\\[2ex] \mathop{\mathrm{tg}} y = 2x+C_2.$

В силу $y(0) = 0$ получим, что $C_2 = 0$.

Ответ. $\mathop{\mathrm{tg}} y = 2x$.