Question

Найти решение задачи Коши

Answer 1

Ответ:

Решаем ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных ( методом Лагранжа ) .

$\bf y''+y=\dfrac{1}{sinx}\ \ ,\ \ \ y\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big)=1\ ,\ \ y'\Big(\dfrac{\pi }{2}\Big)=\dfrac{\pi }{2}$  

1) Cначала решаем ЛОДУ 2-го порядка и находим его общее решение .

$\bf y''+y=0\ \ \Rightarrow \ \ \ \lambda^2+1=0\ \ ,\ \ \lambda ^2=-1\ \ ,\ \ \lambda _{1,2}=\pm i\ \ ,\\\\y_{oo}=C_1\cdot cosx+C_2\cdot sinx\\\\y_1=cosx\ ,\ y_2=sinx$  

2)  Ищем решение ЛНДУ 2-го порядка в виде  

$\bf y=C_1(x)\cdot cosx+C_2(x)\cdot sinx$  

Чтобы найти функции  $\bf C_1(x)\ ,\ C_2(x)$   решаем систему

$\left\{\begin{array}{l}\bf C_1'(x)\cdot y_1+C_2'(x)\cdot y_2=0\\\bf C_1'(x)y_1'+C_2'(x)\cdot y'_2=f(x)\end{array}\right$   ,    $\bf f(x)=\dfrac{1}{sinx}$   .    

$\bf \left\{\begin{array}{l}\bf C_1'(x)\cdot cosx+C_2'(x)\cdot sinx=0\\\bf C_1'(x)\cdot (-sinx)+C_2'(x)\cdot cosx=\dfrac{1}{sinx}\end{array}\right$    

Решаем систему методом Крамера .

$\bf W=\bf \left|\begin{array}{ll}\bf cosx\ &\ \bf sinx\\\bf -sinx\ &\ \bf cosx\end{array}\right|=cos^2x-(-sin^2x)==sin^2x+cos^2x=1\ne 0\\\\\\W_1=\bf \left|\begin{array}{ll}\bf 0\ &\ \bf sinx\\\bf \dfrac{1}{sinx}\ &\ \bf cosx\end{array}\right|=0-sinx\cdot \dfrac{1}{sinx}=-1\\\\\\W_2=\bf \left|\begin{array}{ll}\bf cosx\ &\ \bf sinx\\\bf 0\ &\ \bf \dfrac{1}{sinx}\end{array}\right|=cosx\cdot \dfrac{1}{sinx}=\dfrac{cosx}{sinx}=ctgx$  

$\bf C_1'(x)=\dfrac{W_1}{W}=\dfrac{-1}{1}=-1\ \ ,\ \ \ C_2'(x)=\dfrac{W_2}{W}=\dfrac{ctg\, x}{1}=ctg\, x$    

Зная производные функций  $\bf C_1'(x)\ ,\ C_2'(x)$  , восстанавливаем сами функции с помощью интегрирования .

$\displaystyle \bf C_1(x)=\int (-1)\, dx=-x+C_1^{^*}\ \ ,\\\\C_2(x)=\int \, ctg\, x\, dx=\int \dfrac{cos\, x}{sin\, x}\, dx=\int \dfrac{d(sin\, x )}{sin\, x}=ln|\, sinx\, |+C_2^{^*}$      

Запишем общее решение заданного ЛНДУ 2-го порядка :

$\bf y=\Big(-x+C_1^{^*}\Big)\cdot cosx+\Big(ln|\, sinx\, |+C_2^{^*}\Big)\cdot sinx$      

3)  Найдём частное решение ЛНДУ 2-го порядка , соответствующее заданным начальным условиям .

$\bf y\Big(\dfrac{\pi }{2}\Big)=1\ \ \Rightarrow \ \ y\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big)=\Big(-\dfrac{\pi }{2}+C_1^{^*}\Big)\cdot cos\dfrac{\pi}{2}+\Big(ln\Big|sin\dfrac{\pi}{2}\, \Big|+C_2^{^*}\Big)\cdot sin\dfrac{\pi}{2}=\\\\\\=\Big(-\dfrac{\pi }{2}+C_1^{^*}\Big)\cdot 0+\Big(ln\Big1+C_2^{^*}\Big)\cdot 1=C_2^{^*}\ \ ,\ \ C_2^{^*}=1$  

Решение ищем в окрестности точки х = П/2, тогда sin х > 0 , |sinx|=sinx

$\bf y'=\Big(-x+C_1^{^*}\Big)'\cdot cosx+\Big(-x+C_1^{^*}\Big)\cdot (cosx)'+\Big(ln(sinx)+C_2^{^*}\Big)'\cdot sinx+\\\\+\Big(ln(sinx)+C_2^{^*}\Big)\cdot (sinx)'=-cosx-\Big(-x+C_1^{^*}\Big)\cdot sinx+\dfrac{cosx}{sinx}\cdot sinx+\\\\+\Big(ln(sinx)+C_2^{^*}\Big)\cdot cosx=-cosx-\Big(-x+C_1^{^*}\Big)\cdot sinx+\dfrac{cosx}{sinx}\cdot sinx+\\\\+\Big(ln(sinx)+C_2^{^*}\Big)\cdot cosx=\\\\=-cosx-\Big(-x+C_1^{^*}\Big)\cdot sinx+cosx+\Big(ln(sinx)+C_2^{^*}\Big)\cdot cosx$

$\bf y'\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big)=\dfrac{\pi }{2}\ \ \Rightarrow \\\\y'\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big)=-cos\dfrac{\pi }{2}-\Big(-\dfrac{\pi }{2}+C_1^{^*}\Big)\cdot sin\dfrac{\pi }{2}+cos\dfrac{\pi }{2}+\Big(ln(sin\dfrac{\pi }{2})+C_2^{^*}\Big)\cdot cos\dfrac{\pi}{2}=\\\\=0+\dfrac{\pi }{2}-C_1^{^*}+0+\Big(ln1+1\Big)\cdot 0=\dfrac{\pi }{2}-C_1^{^*}\ \ ,\ \ \dfrac{\pi }{2}-C_1^{^*}=\dfrac{\pi }{2}\ \ ,\ \ C_1^{^*}=0$  

Частное решение имеет вид:

$\bf \widetilde{y}=-x\cdot cosx+\Big(ln(\, sinx)+1\Big)\cdot sinx$