Question

Помогите решить систему:

Answer 1

$\displaystyle \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} = 0$

Значит равен нулю либо синус полусуммы либо косинус полуразности.

Рассмотрим первый случай

$\displaystyle \sin\frac{x+y}{2} = 0 \Leftrightarrow x+y = 2\pi n, \quad n\in\mathbb{Z}$

$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = \pi^2+2xy = (2\pi n)^2$

В итоге имеем

$x+y = 2\pi n\\xy = \pi^2(4n^2-1)/2$

По обратной теореме Виета x и y - корни квадратного уравнения, а именно

$\displaystyle x,y = \frac{2\pi n\pm\sqrt{4\pi^2n^2-2\pi&^2(4n^2-1)}}{2} = \frac{2\pi n \pm\pi\sqrt{2-4n^2}}{2}$

Эти выражения имеют смысл только при n=0:

$\displaystyle x,y = \pm\frac{\pi\sqrt{2}}{2}$

Рассмотрим второй случай

$\cos\frac{x-y}{2}=0\Leftrightarrow x-y = \pi(1+2n),\quad n\in \mathbb{Z}$

$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy = \pi^2+2xy = \pi^2(1+2n)^2$

В итоге имеем

$x+(-y) = \pi(1+2n)\\x(-y) = \pi^2(4n^2+4n)/2$

По обратной теореме Виета x и (-y) - корни квадратного уравнения, а именно

$\displaystyle x,-y = \frac{-\pi(1+2n)\pm\sqrt{\pi^2(4n^2+4n+1)-\pi&^2(8n^2+8n)}}{2} = \\\frac{-\pi(1+2n)\pm\pi\sqrt{1-4n-4n^2}}{2} = \frac{-\pi(1+2n)\pm\pi\sqrt{2-(2n+1)^2}}{2}$

Этот ответ имеет смысл при n=0 и при n=-1:

$\displaystyle x,-y = \frac{-\pi\pm\pi}{2}$ или $\displaystyle x,-y = \frac{\pi\pm\pi}{2}$

Собирая все пары чисел $(x,y)$ вместе, получим окончательный ответ

$\displaystyle \left(\frac{\pi\sqrt{2}}{2},-\frac{\pi\sqrt{2}}{2}\right);\displaystyle \left(\frac{-\pi\sqrt{2}}{2},\frac{\pi\sqrt{2}}{2}\right); (-\pi,0);(0,\pi);(\pi,0);(0,-\pi)$