Question

Как решить уравнение?

(2x - 2) * sin(2x) + (x² - 2x + 3) * 2cos(2x) = 0​

Answer 1

Заметим что $\pi/2+\pi n$ не являются корнями приведенного уравнения и выполним замену $u = \tan x$

Тогда

$\displaystyle \sin 2x = \frac{2u}{1+u^2};\qquad \displaystyle \cos 2x = \frac{1-u^2}{1+u^2}$

$\displaystyle (2x-2)\sin2x+(x^2-2x+3)\cdot 2\cos2x=0\\(x-1)\frac{2u}{1+u^2}+(x^2-2x+3)\frac{1-u^2}{1+u^2}=0\\u^2(x^2-2x+3)-2(x-1)u-(x^2-2x+3)=0$

При любом x коэффициент при $u^2$ положителен, поэтому перед нами стандартное квадратное уравнение

$D/4 = (x-1)^2+(x-2x+3)^2 = (x-1)^2+((x-1)^2+2)^2 = (x-1)^4+5(x-1)^2+4 = ((x-1)^2+1)((x-1)^2+4)$

$\displaystyle u=\tan x = \frac{x-1\pm\sqrt{((x-1)^2+1)((x-1)^2+4)}}{(x-1)^2+2}$

Данное трансцендентное уравнение аналитических решений не имеет, но его можно решать численно.