Question

Докажите неравенство:
(a + b)/(a ^ 2 + b ^ 2) + (b + c)/(b ^ 2 + c ^ 2) + (a + c)/(a ^ 2 + c ^ 2) <= 1/a + 1/b + 1/c

Answer 1

Ответ: Доказано

Объяснение:

$\displaystyle \frac{a+b}{a^2 + b^2} + \frac{b +c }{b^2 + c^2} + \frac{a +c }{a^2 + c^2 }\leqslant \frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} \\\\\\ \bigg ( \frac{1}{a} - \frac{a+b}{a^2 + b^2} \bigg ) + \bigg ( \frac{1}{b} - \frac{b + c}{b^2 + c^2} \bigg ) + \bigg ( \frac{1}{c} - \frac{a + c}{a^2 + c^2} \bigg ) \geqslant 0 \\\\\\ \frac{a^2 -ab }{a(a^2 + b^2)} + \frac{b^2 -bc }{b(b^2 + c^2)} + \frac{c^2 - ac}{c(a^2 + c^2)}\geqslant 0$

$\displaystyle \frac{a-b}{a^2 + b^2} + \frac{b -c}{b^2 + c^2} + \frac{c- a}{a^2 + c^2} \geqslant 0$

Согласно лемме Титу

Для положительных $a_1,a_2 ,... , a_ n$   и $b_1,b_2 ,... , b_ n$  верно следующее

$\displaystyle \frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \ldots + \frac{a_n^2}{b_n } \geqslant \frac{(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \ldots + b_n }$

Поскольку в числителе  переменная в квадрате, сделаем следующее

$\displaystyle \frac{a-b}{a^2 + b^2}\cdot \frac{a - b}{a-b} + \frac{b -c}{b^2 + c^2} \cdot \frac{b - c}{b - c}+ \frac{c- a}{a^2 + c^2}\cdot \frac{c- a}{c - a} \geqslant 0 \\\\\\ \frac{(a-b)^2}{(a^2 + b^2)(a-b) } + \frac{(b-c)^2}{(b^2 + c^2)(b-c) } + \frac{(c-a)^2}{(a^2 + c^2 )(c-a)}\geqslant 0$

Тогда по выше указанной Лемме

$\displaystyle \frac{(a-b)^2}{(a^2 + b^2)(a-b) } + \frac{(b-c)^2}{(b^2 + c^2)(b-c) } + \frac{(c-a)^2}{(a^2 + c^2 )(c-a)}\geqslant \\\\\\ \frac{(a + b + c- (a + b + c))}{ (a^2 + b^2)(a-b)(b^2 + c^2)(b-c) (a^2 + c^2 )(c-a) } = \\\\\\\ = \frac{0}{(a^2 + b^2)(a-b)(b^2 + c^2)(b-c) (a^2 + c^2 )(c-a) } = 0$

Неравенство доказано