Question

К Новому году семья хочет купить ёлочных игрушек на сумму 10
тысяч рублей. Игрушки продаются наборами трёх типов. Первый набор содержит 20 игрушек и стоит 400 рублей. Второй набор содержит 35
игрушек и стоит 600 рублей. Третий набор содержит 50
игрушек и стоит 900 рублей. Семья хочет купить наибольшее возможное число игрушек. Сколько и каких наборов для этого нужно купить?

Answer 1

Ответ:

Купить необходимо 1 первый набор и 16 вторых наборов

Решение:

Пусть было куплено $x$ первых наборов, $y$ вторых наборов и $z$ третьих наборов:

• х наборов по 20 игрушек за 400 рублей каждый;
• y наборов по 35 игрушек за 600 рублей каждый;
• z наборов по 50 игрушек за 900 рублей каждый.

Известно, что общая стоимость игрушек составляет 10000 рублей. Единственное уравнение, которое можно составить на основе этих данных:

$400x+600y+900z=10000$

Естественно, его можно упростить:

$4x+6y+9z=100$

Число игрушек нужно максимизировать:

$20x+35y+50z\to \max$

Для начала необходимо определить, какой набор является более выгодным с точки зрения средней цены игрушки в нем.

Для первого набора средняя стоимость цены игрушки:

400 руб : 20 игр = 20 руб/игр

Для второго набора средняя стоимость цены игрушки:

600 руб : 35 игр = $17\dfrac{1}{7}$ руб/игр

Для третьего набора средняя стоимость цены игрушки:

900 руб : 50 игр = 18 руб/игр

Таким образом, выгоднее покупать вторые наборы с точки зрения средней цены игрушки.

Зная это, найдем ограничение на количество невыгодных наборов.

Рассмотрим первые и вторые наборы. Найдем сумму, на которую мы сможем купить некоторое количество первых наборов или некоторое количество вторых наборов. Удобно взять просто НОК цен этих наборов:

НОК(400; 600) = 1200

На 1200 рублей мы можем купить:

• или 3 первых набора, тогда мы купим 60 игрушек;
• или 2 вторых набора, тогда мы купим 70 игрушек.

Следовательно, в окончательном выборе не должно быть более 2 первых наборов. Иначе, при наличии 3 первых наборов, мы сможем их заменить на 2 вторых набора, равных по стоимости, но имеющих большее количество игрушек.

Итак:

$x < 3$

Аналогично, рассмотрим вторые и третьи наборы. Возьмем НОК цен этих наборов:

НОК(600; 900) = 1800

На 1800 рублей мы можем купить:

• или 3 вторых набора, тогда мы купим 105 игрушек;
• или 2 третьих набора, тогда мы купим 100 игрушек.

Следовательно, в окончательном выборе должно быть меньше 2 третьих наборов:

$z < 2$

Вернемся к уравнению:

$4x+6y+9z=100$

Заметим, что в правой части записано четное число. В левой части записана сумма трех слагаемых, первые два из которых четные. Значит, четным является и третье слагаемое в левой части:

$9z$ - четное число, тогда и $z$ - четное число

Но ранее мы определили, что $z < 2$. Единственный подходящий вариант по смыслу (переменные - целые неотрицательные) - это вариант:

$\boxed{z=0}$

Уравнение упрощается:

$4x+6y=100$

$2x+3y=50$

Зная ограничение $x < 3$, достаточно выполнить простой перебор из трех вариантов:

Если $x=0$, то:

$y=\dfrac{50}{3} \notin \mathbb{N}_0$

Если $\boxed{x=1}$, то:

$y=\dfrac{48}{3}\Rightarrow \boxed{y=16}$

Если $x=2$, то:

$y=\dfrac{46}{3} \notin \mathbb{N}_0$

Таким образом, найдено единственное решение: купить нужно 1 первый набор и 16 вторых наборов, при этом игрушек будет куплено:

$1\cdot20+16\cdot35=20+560=580$

Answer 2

Семья хочет купить наибольшее возможное число игрушек на сумму 10 тысяч рублей. Игрушки продаются наборами трех типов: первый набор содержит 20 игрушек и стоит 400 рублей, второй набор содержит 35 игрушек и стоит 600 рублей, третий набор содержит 50 игрушек и стоит 900 рублей. Для того, чтобы купить наибольшее возможное число игрушек, нужно выбрать набор, который дает максимальное количество игрушек за 10 тысяч рублей.

• Первый набор стоит 20 рублей за игрушку (400 рублей / 20 игрушек).
• Второй набор стоит 17,14 рублей за игрушку (600 рублей / 35 игрушек).
• Третий набор стоит 18 рублей за игрушку (900 рублей / 50 игрушек).

Следовательно, наибольшее количество игрушек можно купить, выбрав второй набор, так как он дает наибольшее количество игрушек за 10 тысяч рублей. Для этого нужно купить 16 наборов второго типа, что обойдется в 9600 рублей и даст 560 игрушек (16 наборов * 35 игрушек в наборе). Оставшиеся 400 рублей можно потратить на покупку еще 20 игрушек первого набора (400 рублей / 20 рублей за игрушку). В итоге, семья купит 580 ёлочных игрушек: 560 игрушек из 16 наборов второго типа и 20 игрушек из первого набора