Question

В школе провели День святого Валентина. Всего детей в школе 111, и девочки подарили валентинки
мальчикам.
Какое наибольшее количество девочек могло быть в школе, если точно известно, что никакие две девочки не
подарили валентинки одинаковому количеству мальчиков и одна и та же девочка не может подарить
валентинку одному и тому же мальчику более одного раза?10 баллов пож!!

Answer 1

Ответ:

13

Объяснение:
Чтобы найти наибольшее количество девочек, нужно, чтобы каждая девочка дарила минимально возможное количество валентинок.

Пусть 1-ая девочка дарит 1 валентинку
Вторая девочка дарит 2 валентинки
Третья - 3 валентинки
и т.д.

Сумма арифметической прогрессии (количество подаренных девочками валентинок и, соответственно, количество мальчиков) равна:
$S = \frac{a_{1}+ a_{n}}{2}*n$ , где:

n - количество девочек;
$a_{1}$ - первый член прогрессии (количество валентинок, которое дарит первая девочка) Т.к. девочка под номером x по нашей логике дарит x валентинок,  $a_{1}$ = 1;
$a_{n}$ - последний член прогрессии (количество валентинок, которое дарит последняя девочка). Т.к. девочка под номером x по нашей логике дарит x валентинок, $a_{n}$ = n.


Чтобы узнать общее количество детей, нужно к S прибавить n, т.к. S мы условно считаем количеством мальчиков, а n - количеством девочек.

Начинаем подбирать, чтобы найти пороговое значение:

Если n = 12, то S = $\frac{1+12}{2} * 12$ = 78. Тогда мальчики(78) + девочки (12) = 90 детей.
Если n = 13, то S = $\frac{1+13}{2} * 13$ = 91. Тогда мальчики(91) + девочки (13) = 104 ребёнка.
Если n = 14, то S = $\frac{1+14}{2} * 14$ = 105. Тогда мальчики(105) + девочки (14) = 119 детей.  119 - это больше, чем 111, значит 14 девочек в школе быть не может.

=> самое большое количество девочек - 13. Каждая из 12 девочек дарит равное своему номеру количество валентинок (суммарно 78), а 13-ая - 20 шт.
78 + 20 + 13 = 111, все сходится.