Question

19.13, 19.14(на фото) с объяснением
19.13 квадраты длин медиан острых углов прямоугольного треугольника относятся как 5:2, а площадь этого треугольника равна корень из 6. найдите квадрат длины его гипотенузы.​

Answer 1

Ответ:

9.13.   Квадрат длины его гипотенузы равен 14.

9.14.   Тангенс угла α равен 1 или 1/2.

Объяснение:

19.13 Квадраты длин медиан острых углов прямоугольного треугольника относятся как 5:2, а площадь этого треугольника равна √6. Найдите квадрат длины его гипотенузы.​

Дано: ΔАВС - прямоугольный;

АМ и ВК - медианы;

АМ² : ВК² = 5 : 2

S(АВС) = √6

Найти: АВ²

Решение:

Пусть ВМ = МС = а; АК = КС = b; AB = c.

• Площадь прямоугольника равна половине произведения катетов.

⇒ S(АВС) = 1/2 · BC · AC

$\displaystyle \sqrt{6}=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2b\\\\2ab=\sqrt{6} \\\\a=\frac{\sqrt{6} }{2b}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\bf a^2=\frac{6}{4b^2}=\frac{3}{2b^2}$   (1)

Рассмотрим ΔАМС - прямоугольный.

• Теорема Пифагора:
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

⇒ АМ² = АС² + СМ² = 4b² + a²

Рассмотрим ΔKBС - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

BК² = KС² + BС² = b² + 4a²

По условию АМ² : ВК² = 5 : 2

$\displaystyle \frac{4b^2+a^2}{b^2+4a^2}=\frac{5}{2}\\ \\ 8b^2+2a^2=5b^2+20a^2\\\\3b^2-18a^2=0\;\;\;|:3\\\\b^2-6a^2=0$

Подставим значение а² из (1):

$\displaystyle b^2-\frac{9}{b^2}=0\\ \\b^4-9=0\\\\(b^2-3)(b^2+3)=0\\\\\Rightarrow \bf b^2=3$

(b² + 3) > 0

$\displaystyle \bf a^2=\frac{3}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}$

По теореме Пифагора:

$\displaystyle AB^2=4a^2+4b^2=4\cdot\frac{1}{2} + 4\cdot 3=14$

Квадрат длины его гипотенузы равен 14.

19.14. Пусть тангенсы острых углов прямоугольного треугольника связаны соотношением 2tg α + tg β = 3.

Найдите tg α.

• Сумма острых углов треугольника равна 90°.

2tg α + tg β = 3

β = 90° - α

2tg α + tg (90° - α) = 3

• По формуле приведения:
• tg (90° - α) = ctg α  

Также надо знать:

• ctg α = 1/tgα

$\displaystyle 2tg\alpha +ctg\alpha =3\\\\2tg\alpha +\frac{1}{tg\alpha } =3\;\;\;\;\;|\cdot tg\alpha ,\;tg\alpha \neq 0\\\\2tg^2\alpha +1-3tg\alpha =0\\\\tg\alpha =k\\\\2k^2-3k+1=0\\\\D=9-8=1\\\\k_1=\frac{3+1}{4}=1;\;\;\;\;\;k_2=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}$

Тангенс угла α равен 1 или 1/2.

#SPJ1