Question

30 баллов, помогите с заданием, пожалуйста, с решением

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \bf 16\; sin10^0 sin30^0 sin50^0 sin 70^0=1$

Объяснение:

Вычислить выражение:

$\displaystyle \bf 16\; sin10^0 sin30^0 sin50^0 sin 70^0$

• Используем формулы преобразования произведения в сумму:

                        $\boxed {\displaystyle \bf sin\alpha \;sin\beta =\frac{1}{2}\left(cos(\alpha -\beta )-cos(\alpha +\beta )\right) }$

$\displaystyle 16\; sin10^0 sin30^0 sin50^0 sin 70^0=\\\\=16\;sin10^0\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}(cos(50^0-70^0)-cos(50^0+70^0))=\\ \\ =4\;sin10^0(cos(-20^0)-cos120^0)=$

                       $\boxed {\displaystyle \bf cos(-\alpha )=cos\alpha }\;\;\;\;\;\boxed {\displaystyle \bf cos(180^0-\alpha )=-cos\alpha }$

$\displaystyle =4sin10^0(cos20^0+\frac{1}{2}) =4sin10^0cos20^0+2sin10^0=$

                        $\boxed {\displaystyle \bf sin\alpha \;cos\beta =\frac{1}{2}\left(sin(\alpha +\beta )+sin(\alpha -\beta )\right) }$

$\displaystyle =4\cdot \frac{1}{2} (sin(10^0+20^0)+sin(10^0-20^0))+2sin10^0=\\\\=2(sin30^0+sin(-10^0))+2sin10^0=$

                          $\boxed {\displaystyle \bf sin(-\alpha )=-sin\alpha }$

$\displaystyle =2(\frac{1}{2}-sin10^0)+2sin10^0=1-2sin10^0+2sin10^0=1$