Стороны АВ и AD параллелограмма ABCD соответственно равны 5 и 12. Биссектрисы углов А и В параллелограмма пересекаются в точке О1, биссектрисы углов С и D пересекаются в точке О2. Найти расстояние O1O2
Ответ: 7
Ответы
Ответ:
Расстояние О₁О₂ равно 7 ед.
Объяснение:
Стороны АВ и AD параллелограмма ABCD соответственно равны 5 и 12. Биссектрисы углов А и В параллелограмма пересекаются в точке О₁, биссектрисы углов С и D пересекаются в точке О₂. Найти расстояние O₁O₂.
Дано: ABCD - параллелограмм;
АВ = СD = 5; ВС = АD = 12;
АЕ, ВН, СР, DТ - биссектрисы;
АЕ ∩ ВН = О₁, СР ∩ DТ = О₂.
Найти: О₁О₂
Решение:
Соединим О₁ и О₂ и продолжим прямую до пересечения с АВ и CD.
Обозначим углы цифрами для удобства.
1. Рассмотрим ΔНАЕ.
∠1 = ∠2 (условие)
∠3 = ∠2 (накрест лежащие при ВС || AD и секущей АЕ)
- ⇒ ∠1 = ∠3
- Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
⇒ АВ = ВЕ = 5.
ВО₁ - биссектриса
- В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой.
⇒ АО₁ = О₁Е
2. Рассмотрим ΔTCD.
∠4 = ∠5 (условие)
∠4 = ∠6 (накрест лежащие при ВС || AD и секущей TD)
⇒ ∠5 = ∠6
⇒ ΔTCD - равнобедренный;
⇒ CD = CT = 5.
CО₂ - биссектриса, медиана
⇒ ТО₂ = О₂D
3. Рассмотрим АЕТD - трапеция.
АО₁ = О₁Е; ТО₂ = О₂D
⇒ О₁О₂ - средняя линия АЕТD
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
⇒ О₁О₂ || BC || AD
4. КВСМ - параллелограмм (по определению)
- Противоположные стороны параллелограмма равны.
⇒ ВС = КМ = 12.
5. Найдем КО₁ и О₂М.
- Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.
⇒ КО₁ - средняя линия ΔАВЕ;
О₂М - средняя линия ΔTCD.
- Средняя линия треугольника равна половине стороны, которую она не пересекает.
⇒ КО₁ = 1/2 · ВЕ = 2,5; О₂М = 1/2 · ТС = 2,5
О₁О₂ = КМ - КО₁ - О₂М = 12 - 2,5 - 2,5 = 7
Расстояние О₁О₂ равно 7 ед.
