Question

Докажите что функция y=sin(x^2) непериодическая​

Answer 1

Предположим, что функция $y = \sin(x^2)$ периодическая с периодом $T$. Тогда для любого $x$ должно выполняться равенство $\sin(x^2) = \sin((x + T)^2)$. Раскрывая квадраты, получаем:

$\sin(x^2) = \sin(x^2 + 2xT + T^2)$

Так как $\sin(x^2) = \sin(x^2 + 2xT + T^2)$, то $\sin(2xT + T^2) = 0$

$2xT + T^2 = \pi n,n \in \mathbb{Z}$

Таким образом, $T(2x + T) = \pi n$

Так как $\pi$ является иррациональным числом, то $2x + T$ не может быть рациональным числом, что противоречит предположению о том, что функция $y = \sin(x^2)$ периодическая.