Задание 4 (23 балла).
Дан треугольник PKL. На сторонах PL и KL отмечены точки A и B соответственно, причём AL = 15 см, BL = 20 см, PL = 21 см, KL = 28 см, PK = 42 см. Найдите периметр треугольника ABL.
Ответы
Мы знаем, что:
BL = 20 см,
AL = 15 см.
PB = 21 см (дано),
BL = 20 см (дано),
cos(α) = (20^2 + 21^2 - 28^2) / (2 * 20 * 21)
cos(α) = (400 + 441 - 784) / (2 * 20 * 21)
cos(α) = 57 / 840.
Теперь найдем угол α, используя обратный косинус:
α = arccos(57 / 840).
Используя калькулятор, найдем значение угла α:
α ≈ 80.32 градуса.
Теперь мы знаем, что угол α в треугольнике PBL равен примерно 80.32 градуса.
В треугольнике ABL сумма всех углов равна 180 градусов. Таким образом, угол B в треугольнике ABL можно найти следующим образом:
Угол B = 180 градусов - угол α - угол A.
Угол A равен 90 градусов (прямой угол), и теперь у нас есть угол B:
Угол B = 180 градусов - 80.32 градуса - 90 градусов
Угол B ≈ 9.68 градуса.
Теперь у нас есть длины всех трех сторон и углов треугольника ABL:
AB (находим с использованием синуса):
sin(α) = (AB / BL)
AB = BL * sin(α) = 20 см * sin(80.32 градуса) ≈ 19.98 см.
Теперь мы знаем, что AB ≈ 19.98 см.
Теперь мы можем найти периметр треугольника ABL:
Периметр ABL = AB + BL + AL
Периметр ABL ≈ 19.98 см + 20 см + 15 см ≈ 54.98 см.
Периметр треугольника ABL примерно равен 54.98 см.