Центр кола, описаного навколо трикутника, належить його стороні. Доведіть, що цей трикутник прямокутний
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Так як O є центром кола, то він розташований на рівні відстані від кожної з вершин трикутника ABC. Отже, OA = OB = OC, де O - центр кола, а A, B, C - вершини трикутника.
Далі розглянемо довжини сторін трикутника ABC. Позначимо:
AB = c,
AC = b,
BC = a.
Застосуємо теорему Піфагора до трикутника OAB: OA^2 + OB^2 = AB^2.
Так як точки A і B знаходяться на одному колі з центром O, то OA = OB, і ми отримуємо: OA^2 + OA^2 = c^2.
2OA^2 = c^2.
OA^2 = c^2/2.
Аналогічні розрахунки можна зробити для трикутників OAC і OBC, отримаємо: OA^2 = b^2/2, OA^2 = a^2/2.
Тепер ми можемо порівняти два вирази: c^2/2 = b^2/2, c^2 = b^2.
Так як квадрат довжини відрізка не може бути від'ємним, то ми маємо: c = b.
Аналогічним чином можна довести, що: b = a, c = a.
Отже, ми отримали, що всі сторони трикутника ABC рівні між собою. Це властивість прямокутного трикутника. Тому ми можемо стверджувати, що трикутник ABC є прямокутним.