Question

докажите равенста:
a) cos4a + 4cos2a + 3 = 8cos^4a
b) cos36° + cos108° = 0.5

Answer 1

Доказательство:

a)

Преобразуем левую часть к правой.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла:

$\cos4\alpha + 4\cos2\alpha + 3 =2\cos^22\alpha-1 + 4\cos2\alpha + 3\ \boxed{=}$

Приведем подобные и вынесем за скобки общий множитель:

$\boxed{=}\ 2\cos^22\alpha + 4\cos2\alpha +2 =2(\cos^22\alpha + 2\cos2\alpha +1) \ \boxed{=}$

Для выражения в скобках применим формулу квадрата суммы, а для образовавшегося выражения - формулу косинуса двойного угла:

$\boxed{=}\ 2(\cos2\alpha +1)^2 =2\cdot (2\cos^2\alpha )^2 =2\cdot 4\cos^4\alpha =8\cos^4\alpha$

b)

Вновь преобразуем левую часть к правой.

Воспользуемся формулой суммы косинусов, после упрощения воспользуемся четностью косинуса:

$\cos36^\circ + \cos108^\circ = 2\cos\dfrac{36^\circ+108^\circ}{2}\cos\dfrac{36^\circ-108^\circ}{2} =$

$=2\cos72^\circ\cos(-36^\circ)=2\cos36^\circ\cos72^\circ \ \boxed{=}$

Умножим и разделим выражение на $2\sin36^\circ$ для того, чтобы в числителе дважды воспользоваться формулой синуса двойного угла:

$\boxed{=}\ \dfrac{2\cos36^\circ\cos72^\circ\cdot 2\sin36^\circ}{2\sin36^\circ} =\dfrac{2\cdot2\sin36^\circ\cos36^\circ\cdot\cos72^\circ}{2\sin36^\circ} =$

$=\dfrac{2\sin72^\circ\cos72^\circ}{2\sin36^\circ} =\dfrac{\sin144^\circ}{2\sin36^\circ} =\dfrac{\sin(180^\circ-36^\circ)}{2\sin36^\circ} \ \boxed{=}$

Используя формулу приведения получим:

$\boxed{=}\ \dfrac{\sin36^\circ}{2\sin36^\circ} =\dfrac{1}{2}=0.5$

Элементы теории:

Косинус - четная функция:

$\cos(-x)=\cos x$

Формула приведения:

$\sin(180^\circ-x)=\sin x$

Формула синуса двойного угла:

$\sin2x=2\sin x\cos x$

Формула косинуса двойного угла:

$\cos2x=2\cos^2x-1$

Формула суммы косинусов:

$\cos x + \cos y = 2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$