Докажите, что для произвольного натурального числа n выражение n³/6+n²/2+n/3 является целым числом.
Ответы
нова приветствую.
Преобразуем к такому виду: n*(n+1)*(2n+1)/6
По аналогии делится на 2 т. к. одно из чисел n или n+1 - четное.
Теперь на 3.
Если n кратно 3м, сразу делится.
Если n+1 кратно 3м, делится. т. е. это все числа с остатком 2 при делении на 3. (2, 5, 8...)
Осталось одно слагаемое, которое может делится на 3 проверим его: 2n+1
Остались числа с остатком 1 при делении на 3; Запишем так n=x+1. x - делится на 3.
Тогда 2(x+1)+1=2х+3 - делится на 3.
Т. к. все варианты n делятся на 2 и 3 - число целое.
Відповідь:
Покрокове пояснення:
Р( n ) = n³/6+n²/2+n/3 = ( n³ + 3n² + 2n )/6 = n( n² + 3n + 2 )/6 =
= n( n + 1 )( n + 2 )/6 .
nЄN ; у чисельнику дробу - добуток трьох послідовних натурал.
чисел . Добуток двох послідовних натур. чисел ділиться на 2 , а
добуток трьох послідовних натур. чисел ділиться на 3 ( відомий
факт ). Тому чисельник дробу ділиться на 6 при будь-якому nЄN
і тому вираз Р( n ) є цілим числом . Доведено .