Question

Докажите, что для произвольного натурального числа n выражение n³/6+n²/2+n/3 является целым числом.​

Answer 1

нова приветствую.

Преобразуем к такому виду: n*(n+1)*(2n+1)/6

По аналогии делится на 2 т. к. одно из чисел n или n+1 - четное.

Теперь на 3.

Если n кратно 3м, сразу делится.

Если n+1 кратно 3м, делится. т. е. это все числа с остатком 2 при делении на 3. (2, 5, 8...)

Осталось одно слагаемое, которое может делится на 3 проверим его: 2n+1

Остались числа с остатком 1 при делении на 3; Запишем так n=x+1. x - делится на 3.

Тогда 2(x+1)+1=2х+3 - делится на 3.

Т. к. все варианты n делятся на 2 и 3 - число целое.

Answer 2

Відповідь:

Покрокове пояснення:

  Р( n ) = n³/6+n²/2+n/3 = ( n³ + 3n² + 2n )/6 = n( n² + 3n + 2 )/6 =

           = n( n + 1 )( n + 2 )/6 .

   nЄN ;  у чисельнику дробу - добуток трьох послідовних натурал.

   чисел . Добуток двох послідовних натур. чисел ділиться на 2 , а

    добуток трьох послідовних натур. чисел ділиться на 3 ( відомий

    факт ). Тому чисельник дробу ділиться на 6  при будь-якому nЄN

     і тому вираз  Р( n ) є цілим числом . Доведено .