Question

Через вершину А трикутника АВС проведено пряму а, яка не належить площині трикутника. Довести, що прямі а і ВМ - мимобіжні, де М - середина АС.

Answer 1

Для доведення, що прямі а і ВМ - мимобіжні, давайте розглянемо ситуацію:

1. Проведемо пряму BM, де B - вершина трикутника ABC, а M - середина AC. Оскільки M - середина сторони AC, то BM є медіаною трикутника ABC.

2. Оскільки AM - медіана трикутника, то вона ділиться точкою M на дві рівні частини: AM = MC.

3. Розглянемо прямокутний трикутник ABM, де AB - одна зі сторін, а AM - інша. За теоремою про середню лінію в прямокутному трикутнику, медіана BM буде напівсумою гіпотенузи AB і AM. Тобто BM = (AB + AM) / 2.

4. Аналогічно, розглянемо прямокутний трикутник ACM, де AC - одна зі сторін, а MC - інша. Медіана BM буде напівсумою гіпотенузи AC і MC. Тобто BM = (AC + MC) / 2.

5. Зараз ми маємо два вирази для BM: BM = (AB + AM) / 2 і BM = (AC + MC) / 2.

6. Оскільки BM одна і та ж сама пряма у обох виразах, то можемо прирівняти обидва вирази один до одного:

(AB + AM) / 2 = (AC + MC) / 2.

7. Поділимо обидві сторони рівняння на 1/2 (це не впливає на рівність):

AB + AM = AC + MC.

8. Перегрупуємо терміни в рівнянні:

AB - AC = MC - AM.

9. Позначимо пряму a як пряму, яка не належить площині трикутника ABC і яка проходить через вершину A. Таким чином, MC - AM - це відстань між точками М і А на прямій a.

10. Оскільки MC - AM дорівнює відстані між точками C і B на прямій a, то ми маємо:

AB - AC = CB.

11. Отже, ми показали, що AB - AC = CB, що означає, що прямі a і BM - мимобіжні.