Question

!!!СРОЧНО!!!ПОМОГИТЕ!!!!КАК РЕШИТЬ!!!!​

Answer 1

Сінус і косінус не можуть бути меншими, ніж -1 і більшими, ніж 1.

І.

$m + \frac{1}{m} \geqslant - 1 \\ m + \frac{1}{m} \leqslant 1$

Треба визначити, чи є розв'язок у цієї системи нерівностей. Одразу відмітимо, що m ≠ 0.

Працюємо з першою нерівністю:

$m + \frac{1}{m} \geqslant - 1$

m² + 1 ≥ -m або m² + 1 ≤ -m

Mи так зробили тому що ми точно не знаємо знак m, на який ми помножили обі частини рівняння, тому два випадки.

• Перший:

m² + m + 1 ≥ 0, при m > 0

D = 1 - 4 = -3 (Вираз не дорівнює 0)

Цей вираз завжди більше 0, тому m ∈ R

• Другий:

m² + m + 1 ≤ 0, при m < 0

Ми вже з'ясували, що цей вираз завжди більше 0. Тому m ∈ ∅.

ітак, m ∈ (0; +∞)

Друга нерівність:

$m + \frac{1}{m} \leqslant 1$

m² + 1 ≤ m або m² + 1 ≥ m

• Перший випадок:

m² - m + 1 ≤ 0, при m > 0

D = 1 - 4 = -3 (вираз не дорівнює 0)

Цей вираз теж завжди додатній. Тому m ∈ ∅

• Другий випадок:

m² - m + 1 ≥ 0, при m < 0

Так як вираз додатній, то m ∈ R.

ітак, m ∈ (-∞; 0)

Так як у нерівностей немає спільного проміжку, ми можемо сказати, що рівність

$\cos(a) = m + \frac{1}{m}$

неможлива.

ІІ.

$\frac{2 \sqrt{mn} }{m + n} \geqslant - 1 \\ \frac{2 \sqrt{mn} }{m + n} \leqslant 1$

m + n ≠ 0.

$\frac{2}{m + n} \geqslant - \frac{1}{ \sqrt{mn} }$

$\frac{m + n}{2} \leqslant - \sqrt{mn}$

У нас тут майже така нерівність:

середнє арифметичне ≥ середньому геометричному

щоб √mn існував, потрібно або щоб m і n були додатніми, або щоб m і n були від'ємними. Тому розглянемо два випадки:

• m i n додатні, або одне число додатнє, а друге 0.

тоді

$\frac{m + n}{2}$

додатнє число, а

$- \sqrt{mn}$

від'ємне або 0. Тому що сам корінь завжди додатній або 0, а мінус робить від'ємним або залишає 0. Чи може бути додатнє менше від'ємного або 0? Ні. Тому нерівність не має розв'язків.

• m і n від'ємні або одне з них 0, а друге від'ємне.

Тоді ліва частина < 0, а права ≤ 0. Тоді нерівність завжди буде вірною, так як якщо ср.ариф ≥ ср.геом, тоді -ср.ариф ≤ ср.геом за властивістю нерівностей.

Друга нерівність:

$\frac{2}{m + n} \leqslant \frac{1}{ \sqrt{mn} } \\ \frac{m + n}{2} \geqslant \sqrt{mn}$

Тут ми отримали ту саму нерівність ср.ариф ≥ ср.геом. І ми теж розглянемо два випадки.

• Перший випадок, m i n додатні або щось додатнє, а щось 0

В такому випадку нерівність завжди вірна.

• m i n від'ємні, або одне число від'ємне, а друге 0.

Тоді ліва частина від'ємна, а права додатня або 0. А додатне не може бути менше від'ємного та 0.

Що ми бачимо:

перша нерівність потребує, щоб одне число було < 0, а друге ≤ 0.

друга потребує, щоб одне число було > 0, а друге ≥ 0.

Оба числа не можуть бути 0. Також не може бути такого, що одне число додатнє, а друге від'ємне.

Спільного проміжку немає, тому рівність неможлива.

ІІІ.

$\frac{m}{n} + \frac{n}{m} \geqslant - 1 \\ \frac{m}{n} + \frac{n}{m} \leqslant 1$

n ≠ 0, m ≠ 0.

Перша нерівність:

І знов у нас декілька випадків.

• при m і n або >0, або <0.

$\frac{ {m}^{2} }{mn} + \frac{ {n}^{2} }{mn} \geqslant \frac{ - mn}{mn} \\ {m}^{2} + {n}^{2} \geqslant - mn$

Ця нерівність завжди вірна, так як додатнє завжди більше від'ємного.

• при m або n <0

$\frac{ {m}^{2} }{mn} + \frac{ {n}^{2} }{mn} \geqslant \frac{ - mn}{mn} \\ {m}^{2} + {n}^{2} \leqslant - mn$

Ця нерівність не вірна.

Друга нерівність:

• при m і n або >0, або <0.

$\frac{ {m}^{2} }{mn} + \frac{ {n}^{2} }{mn} \leqslant \frac{ mn}{mn} \\ {m}^{2} + {n}^{2} \leqslant mn$

Ця нерівність невірна.

• при m або n <0

$\frac{ {m}^{2} }{mn} + \frac{ {n}^{2} }{mn} \leqslant \frac{ mn}{mn} \\ {m}^{2} + {n}^{2} \geqslant mn$

Завжди виконується, так як mn від'ємне, а m² + n² додатнє.

Перша нерівність потребує або m i n з однаковими знаками, а друга з різними. m i n не можуть бути 0.

Рівність також не існує, так як немає спільних проміжків.