Question

2.19. Разложить вектор а по векторам р и а, если:
a) ā(2;-5), p(1;3), q(2;5); б) ā(4;5), p(3;2), q(2;1).

Answer 1

Ответ:

а)

$\vec{a}=-20\vec{p}+11 \vec{q}$

б)

$\vec{a}=6 \vec{p}-7 \vec{q}$

Решение:

а)

$\vec{a}=\{2;\ -5\};\ \vec{p}=\{1;\ 3\};\ \vec{q}=\{2;\ 5\}$

Пусть разложение вектора $\vec{a}$ по векторам $\vec{p}$ и $\vec{q}$ имеет вид:

$\vec{a}=m\cdot \vec{p}+n\cdot \vec{q}$

Найдем коэффициенты $m$ и $n$.

Для этого перепишем разложение вектора по координатам:

$\begin{cases} a_x=m\cdot p_x+n\cdot q_x \\ a_y=m\cdot p_y+n\cdot q_y\end{cases}$

Подставим в первое уравнение первые координаты рассматриваемых векторов, а во второе уравнение - вторые координаты:

$\begin{cases} 2=m\cdot 1+n\cdot 2 \\ -5=m\cdot 3+n\cdot 5\end{cases}$

Решаем систему уравнение:

$\begin{cases} m+2n=2 \\ 3m+5n=-5\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $m$:

$m=2-2n$

Подставим во второе уравнение:

$3(2-2n)+5n=-5$

$6-6n+5n=-5$

$-6n+5n=-5-6$

$-n=-11$

$\Rightarrow n=11$

$\Rightarrow m=2-2\cdot11=2-22=-20$

Тогда, искомое разложение вектора:

$\boxed{\vec{a}=-20\vec{p}+11 \vec{q}}$

б)

$\vec{a}=\{4;\ 5\};\ \vec{p}=\{3;\ 2\};\ \vec{q}=\{2;\ 1\}$

Поступаем аналогично, пусть разложение вектора $\vec{a}$ по векторам $\vec{p}$ и $\vec{q}$ имеет вид:

$\vec{a}=m\cdot \vec{p}+n\cdot \vec{q}$

Находим коэффициенты $m$ и $n$. Для этого составляем систему уравнений, показывающую связи соответствующих координат:

$\begin{cases} 4=m\cdot3+n\cdot2 \\ 5=m\cdot2+n\cdot1\end{cases}$

$\begin{cases} 3m+2n=4\\ 2m+n=5\end{cases}$

Второе уравнение умножим на (-2):

$\begin{cases} 3m+2n=4\\ -4m-2n=-10\end{cases}$

Сложим уравнения:

$3m+2n-4m-2n=4-10$

$-m=-6$

$\Rightarrow m=6$

Подставим значение $m$ во второе уравнение исходной системы:

$2\cdot6+n=5$

$12+n=5$

$n=5-12$

$\Rightarrow n=-7$

Таким образом, разложение вектора имеет вид:

$\boxed{\vec{a}=6 \vec{p}-7 \vec{q}}$