Question

вычислить определенный интеграл.
$\frac{ {x}^{2} + ln({x}^{2} ) }{x} dx$
​

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{x^2}{2} + \ln ^ 2x + C$

Объяснение:

$\displaystyle \bullet ~ \int\limits ( f(x)+ g(x)) dx = \int f(x)\; dx + \int g(x)\; dx \\\\ \bullet ~ \log _ b a^n = n \log _b a$

При решении также будем пользоваться тем, что

$\dfrac{1}{x}dx = d(\ln x)$

$\displaystyle \int\limits\frac{x^2 + \ln (x^2)}{x} \; dx = \int\limits x + \frac{\ln (x^2)}{x} \; dx = \int\limits x \, dx + \int\limits \frac{2 \ln x}{x} dx = \\\\\\\ = \int\limits x \, dx + \int\limits 2 \ln x\; d(\ln x) = \frac{x^2}{2} + 2\cdot \frac{ \ln ^2x}{2} + C = \\\\\\\ = \frac{x^2}{2} + \ln ^ 2x + C$