Question

Угол между боковым ребром и стороной основания правильной
четырёхугольной пирамиды равен α. Определить объём пирамиды, если
периметр её основания равен 2a

Answer 1

Ответ:

Объём правильной четырёхугольной пирамиды можно выразить через площадь её основания (S) и высоту (h) следующим образом:

V = (1/3) * S * h

Сначала определим площадь основания пирамиды. Поскольку периметр основания равен 2a, а основание правильной четырёхугольной пирамиды можно разделить на четыре равных треугольника, площадь основания равна:

S = (a/4)^2 * 4 * tan(α/2)

Здесь (a/4)^2 - площадь каждого из четырёх треугольников, и мы умножаем её на 4, так как у нас четыре таких треугольника.

Теперь нужно найти высоту пирамиды (h). Для этого можно использовать тригонометрические соотношения. С учетом того, что угол между боковым ребром и стороной основания равен α, мы можем использовать тангенс этого угла:

tan(α) = h / (a/2)

h = (a/2) * tan(α)

Теперь у нас есть все данные, чтобы вычислить объём пирамиды:

V = (1/3) * S * h

V = (1/3) * [(a/4)^2 * 4 * tan(α/2)] * [(a/2) * tan(α)]

Упростим выражение:

V = (1/3) * (a^3/16) * 4 * tan(α/2) * (a/2) * tan(α)

V = (1/3) * (a^4/8) * tan(α/2)^2

Таким образом, объём правильной четырёхугольной пирамиды равен (a^4/24) * tan(α/2)^2.