1. В прямоугольном треугольнике медиана a, проведенная к гипотенузе, делит прямой угол в отношении 2:1. Найти катеты треугольника. 2.. В треугольнике АВС BC=5*V13, угол С равен 90°. Радиус описанной окружности этого треугольника равен 17,5. Найдите AC
Ответы
Ответ:
Объяснение:
1. Позначимо довжину гіпотенузи прямокутного трикутника як c, а довжини катетів як a і b. За умовою, медіана a ділить прямий кут відношенням 2:1, що означає, що a = 2x і b = x, де x - деякий додатний дільник гіпотенузи c.
Ми також знаємо, що медіана ділить площу трикутника на дві рівні частини, тобто:
(1/2) * a * b = (1/2) * (c/2) * c
З цього ми можемо отримати:
(1/2) * (2x) * (x) = (1/2) * (c/2) * c
Порівнюючи обидві сторони, отримуємо:
x^2 = (c^2)/4
x = c/2
Тепер, коли ми знаємо значення x, ми можемо знайти довжини катетів a і b:
a = 2x = 2 * (c/2) = c
b = x = c/2
Таким чином, катети трикутника дорівнюють c і c/2.
2. Позначимо довжину сторін трікутника ABC як AB = a, BC = b і AC = c. Ми знаємо, що BC = 5√13 і що радіус описаного кола цього трікутника R = 17.5.
Ми також знаємо, що в прямокутному трикутнику відношення радіусу описаного кола до півсуми сторін трікутника дорівнює 1/2. Тобто,
R / ((a + b + c) / 2) = 1/2
17.5 / ((a + b + c) / 2) = 1/2
Подвоїмо обидві сторони рівняння:
35 = a + b + c
Ми також знаємо, що у прямокутному трикутнику BC = 5√13 і С - прямий кут. За теоремою Піфагора,
a^2 + b^2 = c^2
a^2 + (5√13)^2 = c^2
a^2 + 325 = c^2
Таким чином, ми маємо систему двох рівнянь:
1. 35 = a + b + c
2. a^2 + 325 = c^2
Розв'язавши цю систему рівнянь, ми знайдемо значення сторін трікутника.