1 Функція y = f(x) є спадною. Укажіть зростаючу функцію.
А
y=13f(x)
Б
-710y=-14f(x)
В
y=f(x)+7
Г
-y3=2f(x)
Д
y=4,2f(x)
2 Знайдіть проміжки спадання і зростання функції y=(x+1)2+3
А
x ϵ (-∞; -1] - спадає, x ϵ [-1; +∞) - зростає
Б
x ϵ (-∞; 3] - спадає, [3; +∞) - зростає
В
x ϵ (-∞; 2) - спадає, x ϵ (2; +∞) - зростає
Г
x ϵ (-∞; -1) - зростає, x ϵ (-1; +∞) - спадає
Д
x ϵ (-∞; -3) - зростає, x ϵ (-3; +∞) - спадає
3 Яка функція зростає на проміжку (-∞; -7)?
А
y= -3x + 7
Б
y=249(x + 17)
В
y=34x
Г
y=3x -7
Д
y=-1x-7
4 Знайдіть проміжки зростання функції y= -12(x-2)2+1
А
x ϵ (2; +∞)
Б
x ϵ (-∞; -1) та x ϵ (-1; +∞)
В
x ϵ (-∞; -2) та x ϵ (-2; +∞)
Г
x ϵ (-∞; 2) та x ϵ (2; +∞)
Д
x ϵ (-∞; -12)
5 Функція y = f(x) є спадною. Укажіть спадну функцію.
А
-y=-13f(x)
Б
y=-3f(x)
В
-y4= 7f(x)
Г
y = -7 49f(x)
Д
y = -f(x)-5
6 Знайдіть проміжки спадання і зростання функції y=1x2+9
А
x ϵ (-∞; 1) - спадає, x ϵ (1; +∞) - зростає
Б
x ϵ (-∞; 0) - зростає, x ϵ (0; +∞) - спадає
В
x ϵ (-∞; -3) - зростає, x ϵ (3; +∞) - спадає
Г
x ϵ (-∞; -3) - спадає, x ϵ (-3; +∞) - зростає
Д
x ϵ (-∞; 2) - зростає, x ϵ (2; +∞) - спадає
7 Знайдіть max f(x) і min f(x) в області M = (0; +∞), якщо y = x +1x+1
А
max f(x) і min f(x) безліч
Б
min f(x) =3, max f(x) - не існує
В
max f(x) і min f(x) не існує
Г
max f(x) = 1, min f(x) = 0
Д
min f(x) - не існує, max f(x) = 3
8 Знайдіть max f(x) і min f(x) в області M = D(f), якщо y = x 2-25
А
max f(x) - не існує, min f(x) = 0
Б
max f(x) = 5, min f(x) = 0
В
max f(x) і min f(x) безліч
Г
min f(x) - не існує, 5
Д
max f(x) - не існує, min f(x) = -5
9 При яких значеннях параметра a функція y = x2-a зростає на проміжку [5; +∞)?
А
a 0 i a-5
Б
a25
В
a25
Г
a5 i a0
Д
a25 i a5
10 При якому з наведених значень параметра a функція y =(x+7)x-а не буде монотонно зростаючою?
А
-7
Б
-3
В
0
Г
7
Д
14
11 Скільки розв’язків має рівняння x7+x5+x=1
А
Безліч
Б
0
В
1
Г
2
Д
7
12 Розв’яжіть рівняння 6+55x+6=x. Вкажіть правильне твердження:
А
Рівняння не має розв’язків
Б
Рівняння має безліч розв’язків
В
Рівняння має два кореня, що належать проміжку (-2;11)
Г
Рівняння має два кореня, що належать проміжку (-5;6)
Д
Рівняння має один корінь, що належить проміжку (3;9)
Ответы
Ответ :
1) Для того, щоб знайти зростаючу функцію серед запропонованих, досить перевірити, яка з них має коефіцієнт при x, який більший за нуль:
А) y = 13f(x) - Зростаюча (має позитивний коефіцієнт 13 перед f(x)).
Б) -710y = -14f(x) - Зростаюча (має позитивний коефіцієнт -14 перед f(x), але мінус перед усім виразом не впливає на зростання функції).
В) y = f(x) + 7 - Зростаюча (має позитивний коефіцієнт 1 перед f(x)).
Г) -y^3 = 2f(x) - Зростаюча (має позитивний коефіцієнт 2 перед f(x), а мінус перед y^3 не впливає на зростання функції).
Д) y = 4,2f(x) - Зростаюча (має позитивний коефіцієнт 4,2 перед f(x)).
Отже, всі варіанти А, Б, В, Г, і Д є зростаючими функціями.
2) Знайдемо проміжки зростання і спадання функції \(y = (x+1)^2 + 3\):
Для цього розкриємо квадрат виразу \((x+1)^2\):
\[y = x^2 + 2x + 1 + 3 = x^2 + 2x + 4\]
Тепер ми можемо визначити, коли ця функція зростає і коли спадає:
a) Функція \(x^2 + 2x + 4\) завжди більше або рівна 4, тому вона зростає на всьому проміжку \((-\infty; +\infty)\).
Отже, правильна відповідь: А) \(x \in (-\infty; -1] - спадає, x \in [-1; +\infty) - зростає\).
3) Функція \(y = 3x - 7\) має позитивний коефіцієнт перед x (3), тому вона зростає на проміжку \((-∞; +∞)\).
Отже, правильна відповідь: Г) \(y = 3x - 7\).
4) Знайдемо проміжки зростання функції \(y = -12(x-2)^2 + 1\):
a) \(x - 2\) підноситься до квадрата, тобто завжди більше або рівне нулю.
b) Від'ємна константа помножена на додатній член завжди дорівнює від'ємному значенню.
Отже, функція \(y = -12(x-2)^2 + 1\) зростає на проміжку \((-∞; -1)\) і \((1; +\infty)\).
Отже, правильна відповідь: Д) \(x \in (-∞; -12)\) і \(x \in (-5; +\infty)\).
5) Зростаюча функція може бути записана у вигляді \(y = k \cdot f(x)\), де \(k\) - позитивне число. Зараз нам дано наступні вирази:
А) \(-y = -13f(x)\) - Зростаюча.
Б) \(y = -3f(x)\) - Спадаюча (має негативний коефіцієнт -3).
В) \(-y^4 = 7f(x)\) - Зростаюча (має позитивний коефіцієнт 7 перед f(x)).
Г) \(y = -7/49f(x)\) - Спадаюча (має негативний коефіцієнт -7/49).
Д) \(y = -f(x) - 5\) - Спадаюча (має негативний коефіцієнт -1).
Отже, правильна відповідь: А) \(-y = -13f(x)\).
6) Знайдемо проміжки спадання і зростання функції \(y = 1x^2 + 9\):
a) Функція \(1x^2\) завжди більше або рівна нулю, тому зростає на всьому
проміжку \((-∞; +\infty)\).
b) Константа 9 не впливає на спадання або зростання.
Отже, функція \(y = 1x^2 + 9\) зростає на всьому проміжку \((-∞; +\infty)\).
Отже, правильна відповідь: Д) \(x \in (-∞; 2) - зростає, x \in (2; +\infty) - спадає\).
7) Функція \(y = \frac{x+1}{x+1}\) рівна 1 на всьому проміжку \(M = (0; +\infty)\), тому максимального та мінімального значення не існує.
Отже, правильна відповідь: А) max f(x) і min f(x) безліч.
8) Знайдемо максимальне та мінімальне значення функції \(y = x^2 - 25\):
a) Функція \(x^2 - 25\) рівна 0 при \(x = \pm 5\), тому максимального та мінімального значення не існує.
Отже, правильна відповідь: В) max f(x) і min f(x) безліч.
9) Функція \(y = x^2 - a\) зростає на проміжку \([5; +\infty)\) при умові \(a > 0\).
Отже, правильна відповідь: А) \(a > 0\).
10) Функція \(y = (x+7)(x-a)\) не буде монотонно зростаючою, якщо дискримінант квадратного трьохчлена менший або рівний нулю:
Дискримінант = \(b^2 - 4ac\), де \(a = 1\), \(b = 7\) і \(c = -a\).
Дискримінант менший або рівний нулю: \[7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) \leq 0\]
\[49 + 4a \leq 0\]
\[4a \leq -49\]
\[a \leq -\frac{49}{4}\]
Отже, правильна відповідь: Д) \(a \leq -\frac{49}{4}\).
11) Рівняння \(x^7 + x^5 + x = 1\) має один розв'язок, бо ліва частина рівняння - поліном сьомого ступеня, який перетинає ось y = 1 в точці (1, 1), тому воно має один спільний розв'язок.
Отже, правильна відповідь: В) 1.
12) Рівняння \(6 + 55x + 6 = x\) спрощується до рівняння \(61x + 12 = 0\). Розв'язок цього рівняння:
\[61x + 12 = 0\]
\[61x = -12\]
\[x = \frac{-12}{61}\]
Отже, правильна відповідь: В) Рівняння має два корені, що належать проміжку \(-2 < x < 11\).