Question

Розвязати ЛДР методом Бернуллі
Решить ЛДР методом Бернулли
Помогите пожалуйста нужно завтра сдать ))

y' - y ctg x = cos x / sin^2 x

Answer 1

Для решения линейного дифференциального уравнения методом Бернулли, представим его в виде:

dy/dx - y * ctg(x) = cos(x) / sin^2(x)

Заметим, что уравнение уже имеет вид Бернулли, где p(x) = -ctg(x), q(x) = cos(x) / sin^2(x), и n = 1.

Теперь воспользуемся методом Бернулли. Умножим обе стороны уравнения на интегрирующий множитель μ(x), который выбирается таким образом, чтобы уравнение стало линейным:

μ(x) * (dy/dx) - μ(x) * y * ctg(x) = μ(x) * cos(x) / sin^2(x)

Выберем μ(x) = sin^2(x), тогда:

sin^2(x) * (dy/dx) - y * sin^2(x) * ctg(x) = cos(x)

Теперь введем подстановку для упрощения уравнения. Пусть z(x) = y * sin^2(x), тогда:

dy/dx = (1/sin^2(x)) * dz/dx

Подставим это в уравнение:

(1/sin^2(x)) * dz/dx - z * ctg(x) = cos(x)

Теперь это линейное обыкновенное дифференциальное уравнение относительно z(x). Решим его:

dz/dx - z * ctg(x) * sin^2(x) = cos(x) * sin^2(x)

Теперь мы можем воспользоваться методом интегрирующего множителя. Интегрирующий множитель μ(x) выбирается таким образом, чтобы уравнение стало точным. В данном случае:

μ(x) = e^(∫(-ctg(x) * sin^2(x) dx)) = e^(-∫ctg(x) * sin^2(x) dx)

Интеграл в правой части нужно решить, а затем умножить его на обе части уравнения. Это может потребовать интеграла по частям.

После этого вы получите точное дифференциальное уравнение, которое можно решить и найти z(x). Затем, используя z(x), вы сможете найти y(x), так как y(x) = z(x) / sin^2(x).