Ответы
Ответ:
Давайте розглянемо два вирази:
1. n² + 1
2. n(n² - 1)
Ми хочемо знайти всі цілі n, для яких ці два вирази взаємно прості. Це означає, що їх найбільший спільний дільник (НСД) повинен дорівнювати 1.
Розглянемо вираз n² + 1. Найбільший спільний дільник цього виразу і виразу n(n² - 1) буде також найбільшим спільним дільником виразу n² + 1 і виразу n(n² - 1).
НСД(n² + 1, n(n² - 1)) = НСД(n² + 1, n(n² - 1))
Звернемо увагу, що n² + 1 завжди дорівнює 1 більше за квадрат іншого числа, тобто n². Отже:
n² + 1 = n² + n² - n² + 1 = 2n² - (n² - 1)
Ми побачили, що n² + 1 можна виразити як різницю 2n² і числа, яке є меньше за n².
Тепер ми можемо записати НСД:
НСД(n² + 1, n(n² - 1)) = НСД(2n², n(n² - 1))
Зараз ми бачимо, що числитель і знаменник виразу 2n² - n(n² - 1) мають спільний множник n. Тобто, n - це дільник НСД(2n², n(n² - 1)).
Тепер ми повинні знайти всі цілі n, для яких НСД(2n², n(n² - 1)) = 1. Існує такий спільний дільник n, що призводить до НСД рівного 1, якщо n не ділиться на 2.
Отже, усі цілі n, для яких число n не є парним, відповідають вашому умову: числа n² + 1 та n(n² - 1) взаємно прості.