Question

1 = , ∈ ; 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 12; 4 = 1 + 123; …. Доведіть, що різниця +1 − , є квадратом цілого числа для всіх ∈

Answer 1

Ответ:

Давайте розглянемо цей ряд:

1 = 1

2 = 1 + 1 = 2

3 = 1 + 12 = 13

4 = 1 + 123 = 124

5 = 1 + 1234 = 1235

...

Ми бачимо, що кожний член цього ряду отримується додаванням послідовних чисел від 1 до числа . Звернімо увагу, що послідовні числа в даному випадку представлені як десяткові розряди. Наприклад, коли = 4, ми маємо 1 + 1234.

Зараз спробуємо довести, що різниця між квадратом і і числом 1 є квадратом цілого числа. Позначимо різницю як Д:

Д = ² - 1

Але, як ми бачили в ряду, можна записати так:

Д = 1 + 12 + 123 + ... + (1...зчин)

Тепер давайте розглянемо, як можна спростити цю вираз. Додамо його до самого себе, зрушуючи відразу:

2Д = (1 + 12 + 123 + ... + (1...зчин)) + (1 + 12 + 123 + ... + (1...зчин))

Тепер слід звернути увагу на цю суму. Відбувається дуже цікава річ: коли ми додаємо її до себе, перший доданок містить послідовність чисел від 1 до , а другий доданок містить цю ж саму послідовність чисел, але зсунутий на один розряд вліво:

(1 + 12 + 123 + ... + (1...зчин)) + (0 + 1 + 12 + 123 + ... + (1...зчин))

Таким чином, коли ми додаємо ці два доданки, більшість чисел в цих послідовностях скасовуються, залишаючи лише деякі числа на головній діагоналі та на початку першого доданку. Він виглядає наступним чином:

(1 + 12 + 123 + ... + (1...зчин)) + (0 + 1 + 12 + 123 + ... + (1...зчин))

= (1 + 1 + 11 + 111 + ... + (1...зчин)) + (0 + 0 + 1 + 12 + 123 + ... + (1...зчин))

Тепер ми бачимо, що ця сума складається з послідовності чисел, в кожному члені якої додається одиничка:

(1 + 1 + 11 + 111 + ... + (1...зчин))

Ця послідовність легко визначається як:

(1 + 1 + 11 + 111 + ... + (1...зчин)) = 1 + (1 + 10) + (1 + 10 + 100) + ... + (1 + 10 + 100 + ... + 10...зчин)

Тобто, кожний член цієї послідовності виглядає як сума геометричної послідовності:

1 + 10 + 100 + ... + 10...зчин

Ми знаємо, що сума такої геометричної послідовності дорівнює:

1 + 10 + 100 + ... + 10...зчин = (1 - 10...зчин)/(1 - 10)

Тепер, коли ми відсотимо кожний член останньої суми вище на 1 і помножимо на 2 (оскільки ми розглядали подвійку Д), ми отримаємо різницю квадратів:

2Д = (1 - 10...зчин)/(1 - 10)

Отже, ми показали, що різниця квадратів і і числа 1 є квадратом цілого числа, оскільки 2Д є дробом.