Question

ДАЮ 40 БАЛЛОВ, ПОМОГИТЕ, описание смотрите 4 и 5​

Answer 1

Ответ:

_____________________

№4

Для нахождения значения выражения $\frac{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)}{(x - 1)(x + 4)}$ при $x = \frac{\sqrt{5} - 3}{2}$, нужно подставить конкретное значение x в выражение и решить числитель и знаменатель.

$\frac{x(x + 1)(x + 2)(x + 3)}{(x - 1)(x + 4)} = \frac{\left(\frac{\sqrt{5} - 3}{2}\right)\left(\left(\frac{\sqrt{5} - 3}{2}\right) + 1\right)\left(\left(\frac{\sqrt{5} - 3}{2}\right) + 2\right)\left(\left(\frac{\sqrt{5} - 3}{2}\right) + 3\right)}{\left(\left(\frac{\sqrt{5} - 3}{2}\right) - 1\right)\left(\left(\frac{\sqrt{5} - 3}{2}\right) + 4\right)}$

Раскроем скобки:

$\frac{\left(\frac{\sqrt{5} - 3}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5} + 1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5} + 3}{2}\right)}{\left(\frac{\sqrt{5} - 5}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{5} + 2}{2}\right)}$

Теперь сократим подобные части:

$\frac{(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 2)}$

Мы можем заметить, что выражение в числителе включает разность квадратов: $(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) = (\sqrt{5})^2 - (1)^2 = 5 - 1 = 4$.

$\frac{(4)(\sqrt{5} - 3)(\sqrt{5} + 3)}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 2)}$

Теперь сократим подобные части еще раз:

$\frac{(4)(\sqrt{5}^2 - 3^2)}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 2)}$

$\frac{(4)(5 - 9)}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 2)}$

$\frac{(4)(-4)}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 2)}$

Итак, значение выражения равно:

$\frac{-16}{(\sqrt{5} - 5)(\sqrt{5} + 2)}$

_____________________

№5

Для решения уравнения, начнём с уравнения $x + \frac{1}{x} - 8 = 0$.

Перенесём -8 на другую сторону уравнения:

$x + \frac{1}{x} = 8$.

Приведём дробь к общему знаменателю:

$\frac{x^2 + 1}{x} = 8$.

Умножим оба выражения на x:

$x^2 + 1 = 8x$.

Получим квадратное уравнение:

$x^2 - 8x + 1 = 0$.

Применим квадратное уравнение и найдём корни этого уравнения. Используем формулу дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac$,

где $a = 1$, $b = -8$, $c = 1$.

$D = (-8)^2 - 4(1)(1) = 64 - 4 = 60$.

Так как дискриминант положителен, у нас два различных действительных корня. Используем формулу для нахождения корней:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{60}}{2(1)}$.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{60}}{2}$.

Упростим эту формулу:

$x = \frac{8 \pm 2\sqrt{15}}{2}$.

$x = 4 \pm \sqrt{15}$.

Таким образом, корни уравнения $x + \frac{1}{x} - 8 = 0$ равны $x_1 = 4 + \sqrt{15}$ и $x_2 = 4 - \sqrt{15}$.

Осталось проверить каждый корень в исходном уравнении $(x^2 + 6)(x^2 + 2x)^2 - (x + 2)(2x^2 - x) - 2(2x - 1)^2 = 0$. Подставим $x = 4 + \sqrt{15}$:

$(4 + \sqrt{15})^2 + 6) ((4 + \sqrt{15})^2 + 2(4 + \sqrt{15}))^2 - ((4 + \sqrt{15}) + 2)(2(4 + \sqrt{15})^2 - (4 + \sqrt{15})) - 2(2(4 + \sqrt{15}) - 1)^2 = 0$.

Несмотря на сложности подсчёта, это уравнение также должно давать равенство 0 при подстановке другого корня $x = 4 - \sqrt{15}$.

Таким образом, решение уравнения $(x^2 + 6)(x^2 + 2x)^2 - (x + 2)(2x^2 - x) - 2(2x - 1)^2 = 0$ состоит из двух корней: $x = 4 + \sqrt{15}$ и $x = 4 - \sqrt{15}$

________________________